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Boa tarde!

Estou com dificuldades em encontrar uma solução para o problema abaixo.

Problema:

"Prove que se uma sequência de funções contínuas \(f_n:X\rightarrow R\) converge uniformemente para \(f:X\rightarrow R\), então o conjunto \(E=\left \{ f,f_1,...,f_n,... \right \}\) é equicontínuo".

Solução:

Seja \(F=\left \{ f_1,f_2,...,f_n,... \right \}\) um conjunto de funções \(f_n:X\rightarrow \mathbb{R}\), com \(n \in \mathbb{N}\), todas com o mesmo domínio \(X\subset \mathbb{R}\). Dado \(x_0 \in X\), diz-se que o conjunto \(F\) é equicontínuo no ponto \(x_0\) quando, dado \(\varepsilon >0\), \(\exists \delta>0\) tal que \(x \in X, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|<\varepsilon\), para qualquer \(n \in \mathbb{N}\) (definição de equicontinuidade) (1)

Como \((f_n)\) converge uniformemente para \(f\), então sabemos que dado \(\varepsilon>0\), existe \(n_0 \in \mathbb{N}\), tal que \(n>n_0\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}\) para todo \(x \in X\) (2). Em particular, isto vale para \(x=x_0\), ou seja, \(|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3}\)(3).

Por outro lado, \(f\) é contínua. Portanto, dado \(\varepsilon>0\), \(\exists \delta>0\) tal que \(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3}\)(3). Então, quando \(n>n_0\)
, temos \(x \in X, |x-x_0|< \delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|\le |f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f(x_0)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|< \varepsilon\) (recaímos na deninição de equicontinuidade, conforme dada acima).

Minha dúvida é a seguinte. O que consegui provar é que há um subconjunto equicontínuo de \(E\), formado pelas \(f_n\)
com \(n>n_0\). Para eu provar que \(E\) é equicontínuo, eu teria que provar para todo \(n \in \mathbb{N}\). Isto está correto?
Um abraço!

Sim, parece-me correcto. Se já encontrou um \(\tilde{\delta}\) que funciona para \(n > n_0\) e se para cada \(i \in \{1,\cdots , n_0\}\) a definição é verificada para um certo \(\delta_i\), então basta tomar \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_{n_0}, \tilde{\delta}\}\).

Bom dia, Sobolev.
Pois é esta justamente minha dúvida.
Penso que só provei que existe um \(n_0\) e um \(\delta\) que verifica a definição. Mas o que me garante que existe \(i=\left \{ 1,...,n_0 \right \}\) com o respectivo \(\delta_i\)?

A sua demonstração vale para \(n > n_0\) e, não só para \(\tilde{\delta}\) mas para todo o \(\delta \leq \tilde{\delta}\). Assim, se tomar o mínimo que referi (é o mínimo de um conjunto finito), ele servirá todas as definições.