Fórum de Matemática
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Determine os limites da soma abaixo:

1 + 2x + 3x² + 4x³ + ..., -1 < x < 1

\(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}\)

No intervalo de convergência absoluta da série, que é justamente o intervalo ]-1,1[ esta pode ser derivada ou primitivada termo a termo, obtendo o desenvolvimento em série da sua derivada/primitiva. Assim, nesse intervalo,
\(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{+\infty} (x^n)' = \left(\sum_{n=1}^{+\infty} x^{n}\right)' = \left(\frac{x}{1-x\right)' =\frac{1}{(x-1)^2}\)