Fórum de Matemática
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Olá, amigos. Tenho dúvida em mais uma.

Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (2,3) e (-1,1) e tem centro sobre a reta x - 3y = 11 .


Já tentei fazer um sistema de 3 equações, mas não deu certo. Algum colega pode dar ao menos algum encaminhamento? Abraços.

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Ciências Econômicas - EPGE/FGV

Boa noite,

Como o tempo urge, e o meu chefe é escravagista, vou passar os passos que seguiria para uma solução a questão:

1) O Centro da circunferência está sob a reta mediatriz dos dois pontos dados.

2) A equação dessa reta, que é ortogonal ao vetor formado pelos pontos, pode ser encontrada por produto interno.

3) Essa reta intercepta a reta data dita conter o centro da circunferência que é justamente o ponto de intercecção, basta igualar as equações das duas retas.

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Fraol
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Tentarei aqui. Obrigado pela luz.

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Ciências Econômicas - EPGE/FGV

Fiz da seguinte forma:

Considere \(A = (2, 3)\), \(B = (- 1, 1)\), \(C = (x_o, y_o)\) e \(r : x - 3y = 11\), onde "C" é o centro;

Por conseguinte \(d_{AC} = d_{BC} = r\),

\(d_{AC} = d_{BC}\)

\(\sqrt{(x_o - 2)^2 + (y_o - 3)^2} = \sqrt{(x_o + 1)^2 + (y_o - 1)^2}\)

\(\cancel{(x_o)^2} - 4x_o + 4 + \cancel{(y_o)^2} - 6y_o + 9 = \cancel{(x_o)^2} + 2x_o + 1 + \cancel{(y_o)^2} - 2y_o + 1\)

\(4y_o + 6x_o = 11\)


Uma vez que \(C \in r\), temos:

\(\\ x - 3y = 11 \\\\ x_o - 3y_o = 11\)


Ora, resolvendo o sistema \(\begin{cases} 6x_o + 4y_o = 11 \\ x_o - 3y_o = 11 \end{cases}\) encontramos \(\fbox{x_o = \frac{7}{2}}\) e \(\fbox{y_o = - \frac{5}{2}}\) que é o ponto de encontro, isto é, a interseção...


Por fim, obtemos o raio:

\(d_{AC} = r\)

\(\sqrt{(x_o - 2)^2 + (y_o - 3)^2} = r\)

\(r = \sqrt{\left (\frac{7}{2} - 2 \right )^2 + \left ( - \frac{5}{2} - 3 \right )^2}\)

\(r^2 = \left ( \frac{3}{2} \right )^2 + \left ( - \frac{11}{2} \right )^2\)

\(r^2 = \frac{9}{4} + \frac{121}{4}\)

\(\fbox{r^2 = \frac{130}{4}}\)


Logo, \(\fbox{\fbox{\left ( x - \frac{7}{2} \right )^2 + \left ( y + \frac{5}{2} \right )^2 = \frac{130}{4}}}\)

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Daniel Ferreira
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