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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal, boa tarde!
Estou agarrada nessa questão...Eu resolvi todos os itens mas no final o meu gabarito não bate com o da questão e nem com nenhuma alternativa dada. Já refiz várias vezes e continua dando a mesma coisa.
De acordo com a minha resolução, as afirmações corretas são: I e II


Questão:
As afirmações a seguir referem-se a equações e funções trigonométricas. Avaliar cada uma como Verdadeira ou Falsa:

I) Na equação trigonométrica: \(2\tan^2 x - \log_{2\sqrt{2}} {2} =0\) o conjunto solução é \(S = \left \{x \in \mathbb{ R}; x = \frac{\pi}{6} + k\pi \right \}\)


II) O valor de c da função \(f(x)= 1 + \sin {(cx)}\) é \(\frac{1}{2}\) para o período igual a \(4\pi\)

III) O domínio da função \(y = \frac{2}{\sqrt{\sin (3x - \frac{\pi}{3})}}\) no universo \(0\leq 3x - \frac{\pi}{3} < 2\pi\) é \(D = \left \{x \in \mathbb{ R}; \frac{\pi}{9}\leq x < \frac{4\pi}{9}}\)


IV) Para que x esteja no 1º quadrante, o valor de m nas expressões \(\sin (x) = \frac{1-m}{2}\) e \(\cos (x) = \frac{\sqrt{7}m}{2}\) deverá pertencer ao intervalo \(0< m< 2\)

Estão CORRETAS:

a) Apenas a afirmativa I
b) Apenas as afirmativas I, II e IV
c) Apenas as afirmativas I, II e III
d) Apenas a afirmativa III
e) Apenas a afirmativa IV

Gabarito: e.

Prezada Camila,
boa noite!

Veja o item I):

\({2} \cdot \tan^2 x - \log_{2\sqrt{2}} {2} = 0\)

\(\frac{2 \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\log 2}{\log 2^{\frac{3}{2}}}\)

\(\frac{2 \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cancel{\log 2}}{\frac{3}{2} \cdot \cancel{\log 2}}\)

\(\cos^2 x = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sin^2 x\)

\(\cos^2 x = 3 \cdot \sin^2 x\)


Substituindo em \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\),

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

\(\sin^2 x = \frac{1}{4}\)

\(\sin x = \pm \frac{1}{2}\)

Note que no intervalo \(0 \leq x \leq 2\pi\), temos como solução: \(\left \{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right \}\)

Daí, fica fácil perceber que o conjunto solução da afirmativa I) não abrange... Portanto, incompleto!

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Daniel Ferreira
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Prezado danjr5,

Muito obrigada pela resposta. Eu entendi a sua resolução e me fez perceber onde eu estava errando. Eu estava resolvendo da seguinte forma:
Primeiro resolvi o log:

\(\log_{2\sqrt{2}} {2} \left ( 2\sqrt{2} \right )^{y}= 2
\left ( 2^{\frac{3}{2}} \right )^{y}= 2
\left 2 ^{\frac{3}{2}y}= 2
\frac{3}{2}y = 1
y = \frac{2}{3}\)

Substituindo

\(2\tan^2 x - \log_{2\sqrt{2}} {2} =0
2\tan^2 x - \frac{2}{3} = 0
2\tan^2 x = \frac{2}{3}
tan^2 x = \frac{1}{3}
tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}\) *

Logo o conjunto solução seria: \(S = \left \{\frac{\pi}{6} + k\pi\right \}\)

Vi que errei nesse ponto *:
Pois o correto é
\(tan x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Sendo o conjunto solução:
\(S = \left \{ \frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right \}\) conforme você havia dito.

Muito obrigada!

No caso já identificamos que o item I está errado. Sobre os outros itens, para mim o II está correto e o III e IV incorretos...Mas a resposta diz que somente o IV está correto. Você poderia me ajudar?

Consegui resolver o item IV e vi agora que ele realmente está correto. Resolvi desta forma:

\(\sin (x) = \frac{1-m}{2}\) e \(\cos (x) = \frac{\sqrt{7}m}{2}\) e \(0< m< 2\)

Considerando o intervalo de m, temos que:
\(\frac{1}{2}< \sin x < -\frac{1}{2}\) e \(0< \cos x< \sqrt{7}\)

Logo:
Pelo seno:
\(-\frac{1}{2}< \frac{1-m}{2}< \frac{1}{2}
-1< 1-m< 1
-2< -m< 0
0< m< 2\)

e
Pelo cosseno:
\(0< \frac{\sqrt{7}m}{2}< \sqrt{7}
0< m< 2\)

Estando o item IV verdadeiro.


Porém a minha resposta está:
Itens II e IV verdadeiros. E o gabarito fala que somente o item IV está correto.
O Item II é :
"O valor de c da função \(f(x)= 1 + \sin {(cx)}\) é \(\frac{1}{2}\) para o período igual a \(4\pi\)"
Não consigo ver que ele está errado.

Você acha o que sobre esse item?

Obrigada!!!

\(T = \frac{2\pi}{r} \\\\\\ 4\pi = \frac{2\pi}{c} \\\\\\ 2 = \frac{1}{c} \\\\ \fbox{c = \frac{1}{2}}\)

A princípio, estou de acordo com você. Não consegui perceber erro!!

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Daniel Ferreira
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