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Antes de mais um conselho, neste tipo de questões convém dar as definições dos vários conceitos usados pois nem toda a gente sabe as mais variadas propriedades de uma operação binária (eu próprio tive de fazer uma pesquisa para confirmar o meu palpite sobre o que seria uma operação simetrizável e/ou regular).
Supondo a como elemento neutro (a outra possibilidade seria d uma vez que b*c=a impede que sejam b ou c) e sendo * comutativa temos que a tabela terá a seguinte forma:
\(\begin{tabular}{c|cccc}*&a&b&c&d\\ \hline\ a&a&b&c&d\\b&b&x&a&y \\c&c&a&z&w\\d&d&y&w&v\end{tabular}\) com \(x,y,z,w,v\in\{a,b,c,d\}\) de modo que * seja simetrizável (que calculo que seja para todo o x existe y tal que x*y=a que é o elemento neutro de *) e regular (que calculo que seja que x*y=x*z implica y=z, ou seja a tábua é um quadrado latino: nenhum elemento se repete na mesma linha ou na mesma coluna).
Deste modo, tanto a regularidade como a simetrizabilidade implicam que a última linha terá um a que terá onde está v. A regularidade também implica que nas 2ª e 3ª linhas tenha de haver um d nas posições do x e z. Finalmente, nas posições de y e w temos de ter c e b respetivamente.
É com fazer um sodoku.
\(\begin{tabular}{c|cccc}*&a&b&c&d\\ \hline\ a&a&b&c&d\\b&b&d&a&c \\c&c&a&d&b\\d&d&c&b&a\end{tabular}\)
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