Fórum de Matemática
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\(1)Let $f:\Re^{n}\rightarrow \Re, with \triangledown f \neq 0$.Proof that exist a down direction from x.
Well.. i don't know exactly how to do that... i'm thought that can be by Taylor's theorems
$f(x+p) = f(x) + \triangledown f(x+tp)^{T}p , t\in (0,1)$
so if i can choose a p,that:
$\triangledown f(x+tp)^{T}p > 0 \rightarrow f(x+p) > f(x)$
so p is a down direction
but i don't know if i can choose some p and i don't use the fact that $\triangledown f(x) \neq 0$

Well,thanks if you read all \)

bom,como não saiu muito bem,acho que vou tirar a marcação do tex

1)Seja $f:\Re^{n}\rightarrow \Re, with \triangledown f \neq 0$.Prove que existe uma direção de descida a partir de x.
Bom.. eu não sei exatamente o que fazer,então eu achei que podia tentar partir do teorema de Taylor.
$f(x+p) = f(x) + \triangledown f(x+tp)^{T}p , t\in (0,1)$
então se eu pudesse escolhar p tal que:
$\triangledown f(x+tp)^{T}p > 0 \rightarrow f(x+p) > f(x)$
então p é uma direção de descida,mas eu não sei se posso escolher um p satisfazendo essa condição e eu não usei o fato que $\triangledown f(x) \neq 0$
Bom,obrigado por lerem tudo

1)Let $f:\Re^{n}\rightarrow \Re, with \triangledown f \neq 0$.Proof that exist a down direction from x.
Well.. i don't know exactly how to do that... i'm thought that can be by Taylor's theorems
$f(x+p) = f(x) + \triangledown f(x+tp)^{T}p , t\in (0,1)$
so if i can choose a p,that:
$\triangledown f(x+tp)^{T}p > 0 \rightarrow f(x+p) > f(x)$
so p is a down direction
but i don't know if i can choose some p and i don't use the fact that $\triangledown f(x) \neq 0$

Well,thanks if you read all

Se não existisse nenhuma direcção de descida num certo ponto x então esse ponto seria um minimizante local. Se a função for diferenciável, esse minimizante local teria que ser um ponto estacionário, i.e \(\nabla f (x) = 0\), o que é contrário à hipótese. Assim, por redução ao absurdo, vemos que deverá existir uma direcção de descida.