Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia
Alguém sabe responder o exercício abaixo?

Pelo princípio de indução matemática demonstre que a igualdade abaixo é verdadeira:

4 elevado a n + 2 é dividível por 3, A(paratodo)n >= 0

tem coisa erra aí perceba que para n=0:

\(4^{2}=16 \;\;\;\; \text{ nao e divisivel por 3}\)


eu acho que vc quis dizer : \(4^{n+2}-1\) . Então primeira solução usando a indução finita:

testando n=0 :

\(4^{0+2}-1=15\) é divisivel por \(3\).

vamos supor n=k verdadeiro:

\(4^{k+1}-1=3p \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; 4^{k+1}=3p+1\) , em que \(p\) é inteiro.



temos que provar para n=k+1 :


\(4^{k+2}-1\)

\(4^{k+1}*4-1\)

\((3p+1)*4-1\)

\(3*4p+3\)

\(3(4p+1)\)


então obviamente \(3(4p+1)\) é divisível por 3.CQD.


2º Solução usando congruência linear :


supondo \(n=k\) ,\(4^{k+1}-1\equiv 0 \; mod(3)\) verdadeiro, afinal esta é nossa hipótese.

Temos que provar para \(n=k+1\)

então multiplique por 4 os dois lados da congruência :


\(4^{k+2}-4 \equiv 0 \; mod(3)\)


mas sabemos que : \(4 \equiv 1 \; mod(3)\)

daí:


\(4^{k+2}-1 \equiv 0 \; mod(3)\)
\(c.q.d\)

Desculpe, o enunciado correto é:

Pelo princípio de indução matemática demonstre que a igualdade abaixo é verdadeira:

(4^n) + 2 é dividível por 3, ∀n >= 0

1º) passo, teste para n=0 :

\(4^{0}+2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 3\) é divisivel por 3 , então supormos verdadeiro para \(n=k\) :


\(4^{k}+2=3p \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; 4^{k}=3p-2\) "p" é inteiro. Temos que provar para \(n=k+1\) :


\(4^{k+1}+2 \\\\\\\)

\(4^{k}*4+2 \\\\\\\)

\((3p-2)*4+2 \\\\\\\)

\(3*4p-8+2\)

\(3(4p-2)\)


\(\;\;\;\; c.q.d\)


é certamente divisivel por 3.