Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

(a) Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0;

Boa noite, alguém poderia me ajudar ? Estou tentando fazer essa questão, porém minha resposta nunca coincide com o gabarito... Alguém por favor poderia me explicar detalhadamente como resolver essa questão ?
Segundo o gabarito a resposta é: (a) arctan x = x - 1/3x³ + 1/5x⁵ - 1/7x⁷

Mas quando eu derivo arctan x... depois da segunda derivada, todos as derivadas seguintes terão x no numerador e no denominador, certo ? Logo daria 0 em todas as derivadas. Me ajudem, por favor!

Olá :D


veja que :


\((arc \; tg x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime }=-\frac{24x(x^2-1)}{(1+x^2)^4}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\frac{24(5x^4-10x^2+1)}{(1+x^2)^5}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=-\frac{240(3x^4-10x^2+3)}{(1+x^2)^6}\)


\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime}=\frac{720(7x^6-35x^4+21x^2-1)}{(1+x^2)^7}\)


Então dá pra ver que não são todos que vão se anular...

Tem alguma coisa que não estou entendendo...
Até a derivada segunda eu entendi. Mas a derivada terceira não seria 8x²/(1 + x²)³ ?

\((arc \; tg x )^{\prime \prime \prime}=-\frac{(2x)^{ \prime}*(1+x^2)^2-(2x)*((1+x^2)^2)^{ \prime}}{(1+x^2)^4}\)


simplifique e verá o resultado.

Ou alternativamente ...

Podemos escrever \(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt\) .

Onde \(g(t) = \frac{1}{1+t}\) .Agora basta determinar a Série de Maclaurin desta função , fazendo isto obterá

\(g(t) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\) e assim

\(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt = \int_{0}^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) .

Entendi! Obrigado aos dois pela atenção e desculpem a demora para responder!
Abraço!