Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ola, estava provando uma questão de Álgebra Linear e no meio me pintou um dúvida, que ainda não consegui resolver: Como posso provar que a desigualdade de Cauchy-Schwarz só vale quando os vetores são linearmente dependentes?

Obg!!

Use a definição de dependência linear e conclua que um vetor é múltiplo escalar do outro ... Tente concluir.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz é válida para quaisquer dois vectores, sejam ou não colineares. Talvez quisesse perguntar quando é que a igualdade é verificada?

Issoooooooo mesmo!!!!!!!! Escrevi rápido e acabei engolindo as palavras, só agora que fui ver!

Tem alguma sugestão?

Se \(\alpha\) for o ângulo formada pelos vectores x e y temos que

\(\cos \alpha = \frac{\vec{x}\cdot \vec{y}}{\|x\| \|y\|}\)

Ora, se a desigualdade de Cauchy for na verdade uma igualdade, então \(\cos \alpha = \pm 1\), pelo que o ângulo formado pelos dois vectores será 0 ou \(\pi\). Em qualquer dos casos os vectores são colineares.

Ou ... conforme minha sugestão , \(\{u,v\} \subset S\)(\(S\) : espaço vetorial ) L.D. implica um vetor é múltiplo escalar do outro , logo existe \(m\) real para o qual \(u = mv\) , e assim \(||u|| ||v|| = |m| ||v||^2 = <|m| v , v> = |<mv,v>|\) .

Muito obrigado!!