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Seja W um subespaço de V. Como posso mostrar que W \(W\subset (W^\perp)^\perp\), e que \(w=(W^\perp)^\perp\) quando V tem dimensão finita.

Desde já agradeço!

Se \(w\) é um elemento de \(W\) então é ortogonal a todos os elementos de \(W^\perp\) porque qualquer elemento de \(W\perp\) é ortogonal a todos os elementos de \(W\) (em particular \(w\)). Logo \(W\subset (W^\perp)^\perp\).

Além disso, o espaço \(W^\perp\) é complementar de \(W\) em \(V\), i.e. \(V=W+W^\perp\) (isto é verdade se o espaço W for de dimensão finita)* e \(W\cap W^\perp =\{0\}\). Assim se \(\dim V=n\) (finito) e \(\dim W=k\) temos que \(\dim W^\perp =n-k\) e \(\dim (W^\perp)^\perp =n-(n-k)=k\). As condições \(W\subset (W^\perp)^\perp\) e \(\dim W=\dim (W^\perp)^\perp\) (finita) implicam que \(W=(W^\perp)^\perp\).

* editado postriormente para incluir o texto entre parêntesis.