Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde pessoal,

Pra quem não foi curtir o São joão e segue na luta:

(mackenzie - 2004) Qual o período da função f definida por f(x) =Sen^4 (x)??

R: pi

\(sen^4{x}=(sen^2x)^2=\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x \right )^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}cos^22x=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x \right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}cos2x=\frac{3}{8}-\frac{3}{8}cos2x\), sendo que o periodo de \(cos2x\) é \(\pi\).

Walter,

Muito obrigado,

Mas acho que se enganou...no momento que vc tem 1/4cos²2x. Esse termo seria igual a (Cos4x + 1)/8.
Que resultaria no final em y=3/8 +cos4x/8 - cos2x/2
E nesse caso, como encontrariamos o período??
:/ :/

Tens razão. Cometi um erro. Vamos então tentar de outra forma. se \(T>0\) é o período, então \(sen^4(x+T)-sen^4(x)=0\Rightarrow \left ( sen^2(x+T)-sen^2(x) \right )\left ( sen^2(x+T)+sen^2(x) \right )=0\). Isto só é possível se ou \((sen^2(x+T)-sen^2(x))=0\) ou \((sen^2(x+T)+sen^2(x))=0\).
Suponha \(sen^2(x+T)-sen^2(x)=0\). Então \(\frac{1-cos2(x+T)}{2}-\frac{1-cos2(x)}{2}=0\Rightarrow cos2(x)-cos2(x+T)=0\), oque implica \(T=\pi\)
Supondo que \(sen^2(x+T)+sen^2(x)=0\) tem-se \(\frac{1-cos2(x+T)}{2}+\frac{1-cos2(x)}{2}=0\Rightarrow cos2(x+T)+cos2(x)=2\), oque também implica \(T=\pi\)