Fórum de Matemática
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Calcule, por integração, a área do triângulo tendo vértices A(5, 1), B(1, 3) e C(‒1, ‒2).

Dê uma olhado no triangulo que desenhei:



Você deve achar a reta que vai de C a B e depois a equação da reta que vai de B a A do tipo y=ax+b

Para encontrar você deve encontrar o coeficiente angular \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Encontrando o coeficiente angular você substitui na equação do 1 grau e como sabemos o valor de x e y encontramos o valor de b

\(Mca=\frac{3-(-2)}{1-(-1)}=\frac{5}{2}\)

\(y=\frac{5}{2}x+b\)

\(3=\frac{5}{2}1+b\Rightarrow b=\frac{1}{2}\)

\(y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}\)

Essa é a equação da reta que vai de C a B

Você deve descobrir, seguindo o exemplo, a que vai de B a A e deve somar a integral das duas
A segunda equação é esta:
\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

Agora fazendo a integral.Os limites da integral deve ser os valores de X do triangulo.

\(\int_{-1}^{1}\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}dx+ \int_{1}^{5}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

\(2\int_{0}^{1}\frac{1}{2}dx+\int_{1}^{5}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}dx\)

\(2[\frac{1}{2}x]{_{0}}^{1}+[-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}]{_{1}}^{5}\)

Substituindo os valores temos:
S= 5

Caso tenha o gabarito poste o resultado, ajuda bastante.

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"Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer outro talento"

Isaac Newton

Esse \(Mca\) é o coeficiente angular que pode ser representado por \(M\), \(a\)ou \(Tg \theta\)

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Boa noite,

Eu vou colocar os galos para brigar, isto é, ao olhar a solução de lordm64 achei a área muito baixa para as dimensões do triângulo, então desenvolvi o seguinte raciocício:

Os pontos dados são: A(5, 1), B(1, 3) e C(‒1, ‒2).

Como está se pedindo a área, poderíamos eliminar o ponto de coordenadas negativas, para (tentar) facilitar um pouco. Isso pode ser feito por meio de uma transformação linear, ou mais diretamente, deslocando os pontos no plano assim:

\(\begin{matrix} A(5,1) & \rightarrow & A'(6,3) \\ B(1,3) & \rightarrow & B'(2,5)\\ C(-1,-2) & \rightarrow & C'(0,0) \end{matrix}\)

Dessa forma deslocamos o triângulo para o primeiro quadrante.

Não é difícil encontrar as equações das seguintes retas:

\(\begin{matrix} C'B': y = \frac{5}{2}x\\ B'A': y = -\frac{x}{2} + 6\\ C'A': y = \frac{x}{2} \end{matrix}\)

Cujas respectivas integrais são:

\(\begin{matrix} C'B': \frac{5}{4}x^2 + C_1 \\ B'A': -\frac{x^2}{4} + 6x + C_2\\ C'A': y = \frac{x^2}{4} + C_3 \end{matrix}\)

Os intervalos de integração são respectivamente: \([0,2], [2,6], [0,3]\) (as variações de \(x\)).

Também não é difícil perceber que as duas primeiras retas, C'B' e B'A', estão acima da reta C'A', dessa forma somamos o valor as duas primeiras integrais e subtraímos o valor da terceira: \(5+16-9 = 12\) que é o valor da área segundo esse raciocínio.

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Fraol
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Obrigado! talvez eu tenha errado mesmo, até pedi que, caso tivesse,que postasse o gabarito.
Depois darei uma olhada em que ponto errei.

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Creio que esteja certo mesmo, pois considerei, falsamente, os limites das integrais como y=o

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