Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dado \(a\epsilon \mathbb{R}\) tal que \(\left | a \right |< \varepsilon\) , \(\forall\varepsilon > 0\) . Demonstre que a=0
Quem puder responder obrigada :DD

Tem certeza que não faltam informações na questão?

Eu tentei resolver usando esse teorema \(-a \leq x \leq a\), mas não cheguei em a=0.

_________________
GENGNAGEL, J.C

Oi,

É fácil ver que a só pode ser 0. Difícil é mostrar.

Como você citou "( lógica )" no enunciado, vou apelar para ela. A formulação do problema pode ser feita assim:

\((|a| < \epsilon ) \wedge ( \forall \epsilon > 0) \rightarrow (a = 0)\)

Que é uma implicação. E uma implicação pode ser escrita, equivalentemente, como a negação do antecedente ou o consequente, isto é:

\(\neg ((|a| < \epsilon ) \wedge ( \forall \epsilon > 0)) \vee (a = 0)\)

Agora é resolver a negação da conjunção:

\((|a| \ge \epsilon ) \vee ( \exists \epsilon \le 0)) \vee (a = 0)\)


Essa expressão acima é uma disjunção tripla que só é falsa quando os três átomos são falsos.

Em outras palavras a expressão acima, que é equivalente à sua original, só será falsa quando

\(|a| < \epsilon\) e \(\forall \epsilon > 0\) e (olha aí!) \(a \neq 0\).

Há como mostrar isso de forma mais convencional, mas não me ocorreu agora, por isso usei lógica. É bem possível que algum outro colega poste uma versão analítica.

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}