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Os lados de um triângulo formam uma PG crescente. Determine a razão dessa progressão.

Estou com dificuldade em montar a equação.. fiz um triangulo retangulo x, xq e xq² mas não estou conseguindo sair com isso.. Alguem?

Boa tarde,

Puxa! Assim de forma genérica? Sem mais informações?

Acho que a gente pode pensar algumas possibilidades:

1) Triângulo retângulo
Os lados podem ser \(x, xq, xq^2\) de tal forma que \((xq^2)^2 = x^2 + (xq)^2\) o que dá \(q^4 = 1 + q^2\).

Resolvendo a equação acima e considerando o valor real positivo teríamos \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\).

2) Triângulo equilátero
A razão é 1.

3) Triângulo isósceles
Não dá. Os lados não estariam em PG.

4) Triângulo com 3 lados distintos em tamanho
Nesse caso, genérico, que imagino é o que realmente resolve a questão, creio que é melhor usar a desigualdade triangular da seguinte forma:
\(xq^2 \le xq + x\) que resulta em \(x(q^2-q-1) \le 0\). Analisando o sinal da desigualdade vemos que ela só é válida para razão da PG entre as raízes \(\frac{1 ^+_- \sqrt{5}}{2}\).

Indo um pouco mais, no caso do problema só poderemos considerar razões positivas. Pela desigualdade, 1/2 é um candidato a ser razão, mas se o lado for por exemplo 2 então o outros seriam 1 e 1/2 mas isso não dá um triângulo, então as razões deverão ser maiores ou iguais a 1 e menores do que ou iguais a
\(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) para termos triângulos válidos.

Talvez precise de mais alguma análise mas acho que nesse ponto que cheguei dá pra avançar e o meu chefe tá chamando ...

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Fraol
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Ah muito obrigado..sua resolução com o triangulo retangulo ta batendo com o gabarito e eu entendi!!