Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Amigos,

Preciso resolver o seguinte:

a). Mostre que todo grupo cíclico infinito tem dois, e somente dois, geradores.

b). Se a,b e ab do grupo muiltiplicativo G têm ordem 2, então ab=ba. Prove.

Agradeço se me ajudarem.

ERASMO

Uma questão por tópico... Vejamos a)

Se G é um grupo ciclico infinito então \(G=<a>\) (e todas as potências de a são distintas). Suponhamos então que existe um outro gerador \(b \in G\), que necessariamente se pode escrever como uma potência de \(a\), isto é, \(b = a^n\). Se \(b\) for gerador de G então\(a\) também pode ser escrito como potência de \(b\):

\(a = b^m = (a^n)^m = a^{nm}\)

pelo que concluímos que

\(a = a^{mn} \Leftrightarrow a^{mn-1} = Id\).

Como na condições propostas \(Id = a^0\), concluímos que \(mn=1\), pelo que m=n=1 ou m=n=-1. Em resumo, provámos que se b for gerador de G então \(b=a\) ou \(b=a^{-1}\), o que mostra de G tem exactamente 2 geradores.

Relativamente a b) apenas tem que recordar a definição... a ordem de um certo elemento x de um grupo cíclico é o menor inteiro positivo tal que \(x^n=1\). Assim, sabemos que \(a^2=1,\quad b^2 = 1, \quad (ab)^2=1\). Consideremos a última igualdade

\((ab)^2 = 1 \Leftrightarrow
abab = 1 \Rightarrow
a(abab) =a \Rightarrow
a(abab)b = ab \Rightarrow
a^2 ba b^2 = ab \Rightarrow
1\cdot ba \cdot 1 = ab \Rightarrow
ba = ab
\\)