Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde.

A Cia e Ltda produz determinado produto e vende--o a um preço unitário de 13 reais. Estima-se que o custo total para produzir e vender q unidades é dado por:

\(c = q^3 - 3q^2 + 4q + 2\)


Supondo que toda a produção seja absorvida pela mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se obter lucro máximo?

Resolução:

Bem, pelo enunciado, eu entendi que pela obter o lucro máximo, o custo tem que ser mínimo. Sendo assim, derivando a equação e achando as raízes, eu poderia fazer o teste da derivada para saber qual é o valor de x que atende ao mínimo. Só que está dando um número imaginário! É isso mesmo? Estou fazendo certo?

Onde eu estou chegando:

\(c' = 3q^2 -6q + 4\)

\(q' = \frac{3 + i\sqrt{3}}{3}\)

\(q'' = \frac{3 - i\sqrt{3}}{3}\)

Prezado,

O erro esta na premissa de que o custo mínimo implica no lucro máximo. O lucro é definido pela diferença entre receita e custo:

\(L=R-C\)

Sua receita é equivalente à multiplicação entre preço e quantidade, enquanto a função custo já foi definida no enunciado:

\(L=P.q-C(q)\)

Dessa forma você deve chegar ao resultado esperado!

Obs.: cuidado com a notação. Se você disse que a derivada de \(c\) é \(c'\), \(q'\) seria uma primeira derivada e \(q''\) sua segunda derivada.

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Alberson Miranda

Bom dia
Usei essa formula da seguinte maneira

L=P.q-C(q)
L= 2800x -( x³ - 3x² -80x +500)
L= 2800x -x³ +3x² +80x -500
L= -x³ +3x² +80x +2800x -500
L= -x³ +3x² +2880x -500
L= -3x² + 6x + 2880(-1)
L= 3X² -6X - 2880

usando BASKARA
X'= 32 e X" = 30

De onde vem o 2800? O preço unitário é de 13... A função lucro será então

\(L(q) = 13 q - (q^3-3q^2+4q+2) = -q^3+3q^2+9q-2\)

Tratando-se de uma função diferenciável, os seus extremos apenas podem ocorrer na fronteire do domínio (q=0) ou em pontos estacionários (onde a derivada se anula).

\(L'(q)=\mathrm{0} \Leftrightarrow -3q^2+6q+9 = \mathrm{0} \Leftrightarrow q=-1 \vee q=3\)

(Como L''(3) < 0 confirmamos que se trata de um máximo)

Assim, o lucro será máximo se a quantidade produzida for de 3 unidades.

Ola o 2800 vem do problema.
O exercício diz o seguinte:

Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3³− 3x² − 80x+ 500. Cada mesa é vendida por R$ 2.800, 00. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?

Marcita,o seu post aparece nume sequênci9a de mensagens que partiram de um problema inicial... Que não é o que refere! Se quer partilhar alguma dúvida sobre esse problema deve abrir um novo tópico, começando precisamente por indicar o enunciado!

Bom estudo!