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Seja k um irracional qualquer. Existem infinitos racionais \(\frac{x}{y}\) , com x e y inteiros não nulos primos entre si, tais que \(\left | \frac{x}{y} - k \right | < \frac{1}{y^2}\).

Alguém sabe por onde eu começo?

Obrigado.

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GENGNAGEL, J.C

Olá,
Encontrei no livro "A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd Ed) - K. Ireland & M. Rosen" a proposição 17.5.1. que afirma o que quer demonstrar.
Vou fazer uma tradução/adaptação (bastante livre) da demonstração apresentada nesse livro:

Primeiro começamos por mostrar o seguinte lema auxiliar:



Demonstração: Designando por \([\alpha ]\) a parte inteira de \(\alpha\), a sua parte fracionária \(\alpha -[\alpha ]\) está no intervalo [0,1). Como no intervalo [0,1) não existem n+1 pontos espaçados por \(\frac{1}{n}\) ou mais, temos que entre \(0, \xi , 2\xi , \dots , n\xi\) existem dois tais que as partes fracionárias distam menos de \(\frac{1}{n}\). Ou seja, existem \(0\leq k<j \leq n\) tais que

\(|j\xi -[j\xi]-(k\xi -[k\xi])|<\frac{1}{n}\)

Tomando \(y=k-j\) e \(x=[j\xi]-[k\xi]\) temos \(0<y\leq n\) e \(|x-y\xi |<\frac{1}{n}\).
(note-se que mesmo que x e y não sejam primos entre si continuamos a ter \(|x'-y'\xi |<\frac{1}{n}\) onde x' e y' resultam da
divisão de x e y pelo m.d.c. de ambos).

Como consequência temos que:

(1) Para qualquer número real \(\xi\) existem inteiros x e y (primos entre si) tais que \(\left|\frac{x}{y}-\xi \right|<\frac{1}{y^2}\).

Basta dividir a desigualdade do lema auxiliar por y e temos

\(\left|\frac{x}{y}-\xi \right|<\frac{1}{yn}\leq \frac{1}{y^2}\)

(2) Se \(\xi\) é irracional os racionais \(x/y\) nas condições do ponto anterior são em número infinito.

Suponham que só haviam um número finito de racionais nessas condições, \(x_1/y_1 , x_2/y_2 , \dots , x_m/y_m\). Como \(\xi\) é irracional todas as quantidades \(|x_1-y_1\xi | , |x_2-y_2\xi | , \dots ,|x_m-y_m\xi |\) são não-nulas. Logo existiria um natural n tal que \(\frac{1}{n}<|x_i-y_i\xi |, \forall i=1,\dots , m\). Ora o lema auxiliar daria um novo par de inteiros x e y (primos entre si) tais que \(|x-y\xi |<\frac{1}{n}\) que resultaria num novo racional \(x/y\) nas condições pedidas mas que é distinto dos racionais da lista pois \(|x-y\xi |<\frac{1}{n}<|x_i-y_i\xi |, \forall i=1,\dots , m\).

Muito obrigada Rui. Nem sei como te agradecer, nunca pensei em usar a função piso. Esclareceu minha dúvida.
Só uma pergunta, você sabe se esse livro "A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd Ed) - K. Ireland & M. Rosen" , existe em português?
Tenho interesse nessa área.

Abraço.

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GENGNAGEL, J.C

Não sei, mas duvido que haja.