Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Considere a função \(f(x)=2x^2+3\)
Verifique que f é (localmente) invertível em a=-1 e determine uma expressão analítica para essa inversa.

Eu respondi assim:
Para ser invertível em a=-1 \((f\circ f^{-1})(-1)=-1\) e \((f^{-1}\circ f)(-1)=-1\), certo?
O problema é que calculando a inversa de f dá \(\pm \sqrt{\frac{x-3}{2}}\). Para calcular \(f^{-1}(-1)\) uso qual? A \(- \sqrt{\frac{x-3}{2}}\) ou a \(+ \sqrt{\frac{x-3}{2}}\) ?

Para ser invertível em a=-1 a função deve ser injectiva. Como a derivada da função em causa apenas se anula em x=0, ela será invertível quando o domínio considerado for um sunconjunto de \(]-\infty, 0]\) ou de \([0, +\infty[\). Em particular ela será invertível numa vizinhança de -1. Relativamente à expressão da inversa, temos

\(y = 2x^2+3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{y-3}{2}}\)

No entanto, como o ponto em causa é negativo, devemos escolher o sinal negativo, pelo que temos

\(f^{-1}: [3, +\infty[ \to ]-\infty, 0]
x \mapsto -\sqrt{\frac{x-3}{2}}\)