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Boa noite! Gostaria que alguém conferisse minha solução para o seguinte problema:

"Prove que o corpo de Galois \(Gal[x^n-1;\mathbb{Q}]=\mathbb{Q}[\alpha_1]\), onde \(\alpha_1\) é a n-ésima raiz primitiva da unidade. Encontre uma base explícita para este corpo".

Solução:

\(f(x)=x^n-1\) é um polinômio cuja única raiz em \(\mathbb{Q}[x]\) é \(1\). Se dividirmos \(f(x)\) por \(x-1\) obtemos o polinômio \(p(x)=x^{n-1}-x^{n-2}-...-1\), que é irredutível em \(\mathbb{Q}[x]\) e tem \(\alpha_1\) como raiz. Considere agora o homomorfismo \(\varphi _{\alpha_1}:\mathbb{Q}[x]\rightarrow \mathbb{C}\), tal que \(f(x)\mapsto f(\alpha_1)\). Pelo Teorema do Homomorfismo, o quociente \(\frac{\mathbb{Q}[x]}{<p(x)>}\) é isomorfo a \(\mathbb{Q}[\alpha_1]\), onde \(\mathbb{Q}[\alpha_1]=Im(\varphi_{\alpha_1})=\left \{ a_0(\alpha_1)^0+a_1(\alpha_1)^1+a_2(\alpha_1)^2+...+a_{n-1}(\alpha_1)^{n-2} \right \}=\left \{ a_0+a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+...+a_{n-1}\alpha_{n-1} \right \}=\mathbb{Q}[1,\alpha_1,...,\alpha_{n-1}]=Gal(x^n-1,\mathbb{Q})\), e \(\left \{ 1,\alpha_1,...,\alpha_{n-1} \right \}\) é uma base explícita para este corpo.
Obrigado e um abraço!

Há aí algumas imprecisões que precisam de ser corrigidas:

Se dividirmos \(f(x)\) por \(x-1\) obtemos o polinômio \(p(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\) (e não \(p(x)=x^{n-1}-x^{n-2}-...-1\) como é dito);
Este polinómio (\(p(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\)) só é irredutível em \(\mathbb{Q}[x]\) se n é primo. Por isso, em geral, \(\left \{ 1,\alpha_1,...,\alpha_{n-1} \right \}\) não é uma base do corpo (embora seja um conjunto gerador, não é linearmente independente, veja-se o caso n=6).

Penso que para n primo a prova está certa (embora não estou 100% convencido). Para n não primo a base é mais pequena, \(\mathbb{Q}[\alpha_1]\) é isomorfo a \(\frac{\mathbb{Q}[x]}{<q(x)>}\) onde q(x) é o polinómio mínimo de \(\alpha_1\) que divide (mas não é igual a) p(x).

Boa tarde, Rui! Acho que eu compliquei desnecessariamente o exercício. Vou tentar de uma maneira mais simples. Seja \(L\) o Corpo de Galois do polinômio \(x^n-1\), ou seja, o menor subcorpo de \(\mathbb{C}\) contendo \(\mathbb{Q}\) e \(\alpha_0,...,\alpha_{n-1}\)

\(\alpha_1\) é a enésima raiz primitiva da unidade. Evidentemente \(\mathbb{Q}\subset K[\alpha_1]\), logo \(\alpha_0=1 \in \mathbb{Q}\Rightarrow \alpha_0 \in K[\alpha_1]\). É claro que \(\alpha_1 \in K[\alpha_1]\). Também é verdade que \(\alpha_2 \in K[\alpha_1]\), pois \(\alpha_1 \in K[\alpha_1]\Rightarrow \alpha_1.\alpha_1=\alpha_2 \in K[\alpha_1]\), pois \(K[\alpha_1]\) é fechado para a multiplicação, e assim sucessivamente com todas as raízes da unidade. Logo \(K[\alpha_1]\subset L\).

Resta provar que \(L\subset K[\alpha_1]\). Como \(L\) é fechado para multiplicação, ele contém, além das raízes da unidade, o produto destas raízes entre si. Mas estes produtos podem ser convertidos em potências da raiz primitiva. Logo um elemento de \(L\) é da forma \(a_0+a_1\alpha_1+a_2(\alpha_1)^2+...+a_m(\alpha_1)^m\) (não cabe aqui discutir quais valores poderiam ser assumidos por m, pois isto não é importante para a conclusão que segue). Ocorre que \(K[\alpha_1]\), sendo fechado para soma e multiplicação, também contém este elemento,logo \(L\subset K[\alpha_1]\). Isto prova que \(K[\alpha_1]=L\).

Sim, parece-me bem. Falta só determinar a base.