Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Fiz assim:

\(x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 ===> z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\)

\(x^2 + y^2 + z^2 = 4 =====> z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)

Então, \(\sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)

Fazendo \(z = 0\), terei \(x^2 + y^2 - 1 = 0\) e \(x^2 + y^2 = 4\)

Daí,
\(x = r.cos\theta\)
\(y = r.sen\theta\)

\(1 \leq r \leq 2\)
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)


\(\int_{}^{}\int_{B}^{}\int_{\sqrt[]{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt[]{1 - x^2 - y^2}}zdzdxdy =\)


\(\frac{1}{2}\int_{}^{}\int_{B}^{}5 - 2(x^2 + y^2)dxdy =\)


\(\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}(5 - 2r^2)rdrd\theta =\)


\(2\pi\)

Mas, de acordo com o livro a resposta é \(\frac{15\pi}{4}\)

Tentei também por mudança esférica e pude concluir que tenho grandes dificuldades em determinar o intervalo, nesse caso - \(R^3\)

Desde já agradeço.

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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Boas!

Acho que o melhor é mesmo coordenadas esféricas. Neste caso, \(\theta \in [0, 2\pi[, \psi \in [0, \pi/2], r \in[1, 2]\)

Ficamos então com

\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rsen\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^3.sen^2\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}sen^2\psi [\frac{r^4}{4}]_1^2 d\psi d\theta=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}sen^2\psi d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}(1-cos(2\psi)) d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{8} (\pi/4+1)= \frac{30\pi^2}{32}+\frac{30 \pi}{8}=\frac{15\pi^2}{16}+\frac{15 \pi}{4}\)

Não tenho tempo agora para rever, porque o resultado não dá igual ao que lhe deu, mas posso ver mais tarde.

Espero que ajude!

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Olá José Sousa,
bom dia!
Graças a ti consegui chegar a resposta correta.

\(x = r.sen\psi.cos\theta\)
\(y = r.sen\psi.sen\theta\)
\(z = r.cos\psi\)


\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rcos\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta =\)

\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{15cos\psi.sen\psi}{4} d\psi d\theta=\)

\(\int_0^{2\pi}\frac{15}{8} d\theta=\)

\(\frac{15\pi}{4}\)

Mas não consegui entender/visualizar o intervalo de \(\psi\).

Att,

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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Esse intervalo explica-se sabendo que o angulo \(\psi\) conta-se desde a parte positiva do eixo dos z até à parte negativa (de 0 a \(\pi\)), sendo que de \(\pi/2\) a \(\pi\) é quando z é negativo. Como aqui só nos interessa o caso de z positivo...

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José Sousa
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O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Entendi!
Mais uma vez, meus agradecimentos.

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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Não tem que agradecer! Obrigado pela colaboração também!

Saudações Pitagóricas

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928