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Para A\(\in M_{n*n}\), \(x=[x_{1}...x_{n}]^{T}\) e \(b=[b_{1}...b_{n}]^{T}\), justifique as seguintes afirmações:
c) Seja \(v_{p}\) uma solução (particular) do sistema Ax=b, então todas as soluções deste sistema são da forma \(v_{p}+v_{h}\) , onde \(v_{h}\) é uma solução do sistema homogéneo associado, Ax=0.

Considere uma qualquer solução \(x\) do sistema e uma solução particular \(v_p\). Então,

\(Ax = b, \quad A v_p = b \Rightarrow Ax -A v_p = 0 \Rightarrow A(x-v_p) = 0\)

Assim, observamos que \(x-v_p\) é solução do sistema homogéneo, pelo que \(x-v_p = v_h\) (em que \(v_h\) é uma solução do sistema homogéneo), ou seja \(x = v_h+v_p\).