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Tenho a seguinte função: \(f(a,b)=\sum_{i=1}^{n}{(y_i -a - bx_i)^2}\). Os valores de a e b que minimizam essa expressão, são aqueles que anulam as derivadas parciais dessa expressão. Isso é realmente verdade? Por que?

Obrigado.

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GENGNAGEL, J.C

A função em causa é quadrática e é diferenciável em \(\mathbb{R}^n\), pelo que os seus extremantes só podem ocorrer em pontos estacionários (onde se anulam simultaneamente as derivadas parciais). Neste caso existe um único ponto estacionário.

Para verificar que este ponto estacionário é de facto um minimizante, deve calcular a matriz Hessiana e verificar que é definida positiva. Neste caso pode mostrar que, se os pontos x_i não forem todos iguais, a matriz Hessiana é definida positiva em todo o espaço, pelo que f é estritamente convexa e o ponto crítico em causa é um minimizante global.