Olá, estive a pensar na sua pergunta porque também tive dúvidas e cheguei a esta conclusão; em 1º lugar devemos simplificar a expressão inicial
\(ln(e^{\frac{x+3}{2}-1})=ln(e^{\frac{x+1}{2}})\)
O domínio de uma função logarítmica (conjunto de valores que x pode tomar para que a expressão tenha significado) é \(\mathbb{R}^{+}\) então \(D=\left \{ x\in \mathbb{R}:\, e^{\frac{x+1}{2}}\, > \, 0 \right \}\)
Por outro lado, \(e^{\frac{x+1}{2}}\, > \, 0\) é uma condição universal (verifica-se sempre), porque o número de neper é sempre superior a zero. Se desenhar o gráfico da função há-de verifica que y nunca toma o valor de zero.
Se a expressão tem sempre significado independentemente do valor que x tomar, o domínio de \(ln(e^{\frac{x+1}{2}})\) é \(\mathbb{R}\)
Para confirmar os domínios das expressões bem como os gráficos pode usar o Wolfram|Alpha, que apresenta instantaneamente análises de funções. Pode-lhe vir a ser útil
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