Fórum de Matemática
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Numa família com 50 integrantes, 30 pessoas possuem
cabelos escuros e os outros cabelos loiros. Entre as
50 pessoas, 20 delas possuem olhos azuis. Sabendo
que 05 pessoas possuem cabelos escuros e olhos
azuis, quantos integrantes dessa família possuem
cabelos loiros e não possuem olhos azuis?

Se for possível, demonstre como este problema pode ser resolvido.

O meu muito obrigado desde já.

Boa tarde,


Se numa família com 50 integrantes, 30 possuem cabelos escuros (CE) então 20 possuem cabelos loiros (CL). No enunciado é dito que no total das 30 pessoas com cabelos escuros, 5 possuem olhos azuis (OA), logo as restantes 25 pessoas do grupo das 30 não possuem olhos azuis \((\overline{OA})\).

Como entre as 50 pessoas, 20 delas possuem olhos azuis e nós sabemos previamente que 5 com olhos azuis também têm cabelos escuros, podemos afirmar que as restante 15 têm de ter obrigatoriamente também cabelos loiros. Assim, sobram 5 pessoas do grupo das vinte que não possuem olhos azuis.

Logo, existem 5 pessoas com cabelos loiros e sem olhos azuis.

Para resolver o exercício utilizei um diagrama de árvore de modo a organizar a informação. Um diagrama de Veen podem ser útil em situações em que trabalhamos com dois conjuntos, mas quando trabalhamos com vários conjuntos, neste caso o conjunto dos olhos azuis, o conjunto dos cabelos castanhos, o conjunto dos cabelos loiros, o conjunto complementar aos olhos azuis, em vez de facilitar a organização de toda esta informação, dificulta.

Ou então podemos aplicar a axiomática de probabilidades
Sejam os acontecimentos:
A: ter cabelos escuros
B: ter olhos azuis

Probabilidade de ter cabelos escuros e olhos azuis: 5/50=0,1 ; Probabilidade de ter cabelos escuros: 30/50=0,6 ; Probabilidade de ter olhos azuis: 20/50= 0,4

\(P(A\cap B)= 0,1\: e\: P(A)=0,6 \: e\: P(B)=0,4\)

Nós queremos saber o número de pessoas que têm cabelos loiros (complementar de A e por isso representado por \(\overline{A}\)) e que também não possuem olhos azuis (complementar de B e por isso representado por \(\overline{B}\)). Assim queremos determinar a interseção do complementar de A e do complementar de B: \(P(\overline{A}\cap \overline{B}=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)\)

Com a fórmula \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) e substituindo os valores temos \(P(A\cup B)=0,6+0,4-0,1\Leftrightarrow \, P(A\cup B)=0,9\)

De seguida, \(P(\overline{A\cup B})=1-0,9\Leftrightarrow \, P\overline{A\cup B}=0,1\)
0,1 x 50= 5, ou seja, 5 pessoas com cabelos loiros e sem olhos azuis.

Na resposta que lhe dei anteriormente, a teoria dos conjuntos permitiu-me agrupar a informação.
Nesta resposta, a teoria dos conjuntos permitiu-me apenas inferir que 5 pessoas com cabelos escuros e olhos azuis correspondiam à interseção de A com B, mas foi através da axiomática que consegui resolver a questão.

Muito obrigado pelo zelo nas respostas...
Pretendo aprofundar-me nestes conteúdos.
Deste que ficou imensamente agradecido e grato.

Fico satisfeita por ter ajudado. Bons estudos