Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Penso já ter alcançado uma parte do problema mas não consigo avançar... Gostaria de pedir a vossa ajuda!

Boa noite!

Resolvendo a questão por completo (até o item 2.1 de forma a poder conferir, ok?).

2.1)
Pelo desenho podemos montar os vetores AP e AQ, já que dado o valor da tangente podemos encontrar a relação entre os lados AB e BP.
Como \(tg\alpha =\frac{1}{2}\) e tangente é calculada dividindo-se cateto oposto por cateto adjacente, arbitraremos:
\(\overline{AB}=2x\)

\(\overline{BP}=x\)

Verificando:
\(tg\alpha = \frac{\overline{BP}}{\overline{AB}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)

Então, montando os vetores AB, AP e AQ:
\(\vec{AB}=(2x)\vec{i}+(0)\vec{j}\)
\(\vec{AP}=(2x)\vec{i}+(x)\vec{j}\)
\(\vec{AQ}=(x)\vec{i}+(2x)\vec{j}\), este último pois DQ tem o mesmo tamanho do segmento BP (pela simetria)

Vamos mostrar, então, que se \(tg\alpha =\frac{1}{2}\), então \(\vec{AP}.\vec{AQ}=||\vec{AB}||^2\).
Calculando a primeira parte, lado esquerdo:
\(\vec{AP}.\vec{AQ}=((2x)\vec{i}+(x)\vec{j}).((x)\vec{i}+(2x)\vec{j})=2x^2+2x^2=4x^2\)

Agora calculando a segunda parte, lado direito:
\(||\vec{AB}||^2=\vec{AB}.\vec{AB}=((2x)\vec{i}+(0)\vec{j}).((2x)\vec{i}+(0)\vec{j})=(2x)^2=4x^2\)

Veja que os dois lados são iguais, portanto, representam uma igualdade.

2.2) \(\overline{AB}=2\)
Veja que o segmento BP, agora, vale \(2tg\alpha\)

a) Reescrevendo os vetores:
\(\vec{AB}=(2)\vec{i}+(0)\vec{j}\)
\(\vec{AP}=(2)\vec{i}+(2tg\alpha)\vec{j}\)
\(\vec{AQ}=(2tg\alpha)\vec{i}+(2)\vec{j}\)

Então, para obtermos a área do triângulo basta calcularmos o produto vetorial e dividir por 2 (já que o produto vetorial entrega, em módulo, a área do paralelogramo formado pelos vetores)
\(A=\frac{||\vec{AP}\times \vec{AQ}||}{2}\)

Calculando o produto vetorial:
\(\vec{AP}\times \vec{AQ}=((2)\vec{i}+(2tg\alpha)\vec{j})\times ((2tg\alpha)\vec{i}+(2)\vec{j})=(2^2-2^2tg^2\alpha)\vec{k}=(4-4tg^2\alpha)\vec{k}\)

Agora voltando para a área:
\(A=\frac{||\vec{AP}\times \vec{AQ}||}{2}=\frac{||(4-4tg^2\alpha)\vec{k}||}{2}=\frac{4-4tg^2\alpha}{2}=2-2tg^2\alpha\)

b) Para determinar o alfa, agora, fica mais fácil:
\(A=\frac{4}{3}
2-2tg^2\alpha=\frac{4}{3}
-2tg^2\alpha=\frac{4}{3}-2
-2tg^2\alpha=\frac{-2}{3}
tg^2\alpha=\frac{1}{3}
tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{3}}
tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}
\alpha=\frac{\pi}{6}\)

Espero ter ajudado!
Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles