Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x} - (1+ax)}{x^2}\)

com a pertencente aos reais.

não sei como resolver esse limite.

Olá vitor, eu resolvi da forma que soube, mas confesso que tive algumas dúvidas e portanto não garanto que esteja certo.

\(\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{\sqrt{1+x}-\left ( 1+ax \right )}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{\left [ \sqrt{1+x}-\left ( 1+ax \right ) \right ]\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}{x^{2}\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{1+x-\left ( 1+ax \right )^{2}}{x^{2}\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{1+x-\left ( 1+2ax+a^{2}x^{2} \right )}{x^{2}\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{x-2ax-a^{2}x^{2}}{x^{2}\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{x\left ( 1-2a-a^{2}x \right )}{x^{2}\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\lim _{x\rightarrow 0}\, \frac{1-2a-a^{2}x}{x\left [ \sqrt{1+x}+\left ( 1+ax \right ) \right ]}=\frac{1-2a}{0}\)

a pertence ao conjunto dos reais, então à expressão \(\frac{1-2a}{0}\) pode ser aplicada a igualdade \(\frac{k}{0}=\infty\)

Como não sabemos se a é positivo ou negativo, não sabemos se \(1-2a> 0\: \: ou\: \: 1-2a< 0\) logo não podemos determinar se \(\frac{1-2a}{0}\) será igual a \(+\infty \: \: ou\: \: -\infty\) .

Se você ou qualquer outro utilizador do fórum encontrar erros na minha resolução, por favor corrija-me.

Queria apenas acrescentar que a como pertence aos reais pode, além de tomar valores positivos ou negativos, tomar o valor zero, o que não invalida o que eu disse anteriormente, pois de qualquer das formas, nunca teremos a indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\) na expressão simplificada.

Bem... eu acho coerente sua resposta, mas a questão n fala o valor de "a" e ele pede pra por os limites em uma expressão, eu sei que esses dois primeiros limites da 2(me corrija se eu estiver errado) agora esse ultimo me deu dor de cabeça.
Da maneira que voce resolveu, eu n tenho como saber a resposta da expressão.

Olá vitor, cá estou de novo, depois de você falar na especificidade do exercício, eu comecei a pensar e cheguei à conclusão de que provavelmente o enunciado do limite C está errado. Ora veja a "correção" que eu fiz. Eu assumi que ao invés de x tender para zero, tendia para infinito.

\(\lim _{x\rightarrow \infty }\, \frac{\sqrt{1+x}-\left ( 1+ax \right )}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\, \frac{\sqrt{x^{2}\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x} \right )}-\left ( 1+ax \right )}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\, \frac{|x|\left ( \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}} \right )-\left ( 1+ax \right )}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\, \frac{x\left ( \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}-a \right )}{x^{2}}=\frac{\sqrt{0+0}-0-a}{\infty }=\frac{-a}{\infty }=0\)

Os limites A e B de facto dão 2, logo \(2A-B+8C=\left (2\times 2-2 \right )+8\times 0=2\) , OPÇÃO (e)

O que você acha?

Realmente faz mais sentido esse limite C ser com x tendendo ao infinito, já que a função leva a uma solução mais pratica(levando em conta que é uma questão de concurso). Eu não queria ver o gabarito antes de terminar a prova, mas eu acabei de verificar, a questão foi anulada.

Muito obg pelo auxilio!