Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!
Venho por este meio pedir ajuda.
Estou a fazer um exame de Mat, e surgiu me uma dúvida num exercício!
No exame

No ex 4.1 eu n percebi pk é que a altura é e^-1
Alguém me pode explicar?
N estou a perceber pk :/

Não entendi bem a sua questão. Estive a ver e não existe nenhum \(e^{-1}\) neste exercício. Talvez quis perguntar o porquê de a altura ser \(e^{-x}\)?

Se o ponto P for caracterizado por:

\(P=(x,y)
y=e^{-x}
\bar{OQ}=2x
h=y\)

Desta forma a área do triângulo é dado por:

\(A=\frac{\bar{OQ}\times h}{2}=\frac{2xy}{2}=xy=xe^{-x}\) c.q.m.

É isso!!!
Obrigado :D
Podemos concluir que em cada situação num ponto P(x,y) , y é igual a função ?

Para o ponto P, sim!

Ok, obrigado!

Faltou responder o outro item, qual é a área máxima?
Mas antes queria só acrescentar sobre P(x,y) e y ser a função. Isso vai acontecer sempre que o ponto (x,y) for um ponto da curva, para qualquer curva, não só essa.

Agora da função A(x)= \(A(x)=x.e^-^x\) ela não é monótona na reta. Calculando a derivada de A, temos \(A'(x)=e^-^x+x(-1)e^-^x=(1-x)e^-^x\), que só se anula em x=1. Logo, o maior valor de A é atingido no ponto \(A(1)=1.e^-^1=e^-^1\).
Para se ter certeza que x=1 é um ponto de máximo, deveríamos calcular a derivada segunda, \(A''(x)=-e^-^x+(1-x)(-1)e^-^x=-(1+1-x)e^-^x=(x-2)e^-^x\), e vemos que \(A''(1)=(1-2)e^-^1=-e^-^1<0\) concluindo que em x=1 a concavidade da função A é voltada para baixo. Logo x=1 é mesmo um ponto de máximo.