Olá Raquel, seja bem-vinda ao nosso "grupo de estudos"!
Raquel299 Escreveu:
Num triângulo retângulo, um dos catetos mede a terça parte da hipotenusa. Calcule a tangente de menor ângulo do triângulo.
Por favor me expliquem os detalhes porque eu tenho muitas dúvidas em matemática.
Seja \(a\) a hipotenusa do triângulo e \(b\) e \(c\) seus catetos. De acordo com o enunciado, \(b = \frac{a}{3}\). Ora, para descobrir o outro cateto substituímos tais informações no
Teorema de Pitágoras, veja:
\(a^2 = b^2 + c^2\)
\(a^2 = \left ( \frac{a}{3} \right ) ^2 + c^2\)
\(a^2 - \frac{a^2}{9} = c^2\)
\(c^2 = \frac{8a^2}{9}\)
\(\fbox{c = \frac{2a\sqrt{2}}{3}}\)
Encontrado o outro cateto, agora, podemos calcular o valor da tangente do menor ângulo. Entretanto, devemos observar, também, que \(\frac{2a\sqrt{2}}{3} > \frac{a}{3} \Rightarrow c > b \Rightarrow \widehat{C} > \widehat{B}\).
Sendo B o menor ângulo, temos que:
\(\tan \theta = \frac{\text{cat. opo}}{\text{cat. adj}}\)
\(\tan \theta = \frac{a}{3} \div \frac{2a\sqrt{2}}{3}\)
\(\tan \theta = \frac{a}{3} \times \frac{3}{2a\sqrt{2}}\)
\(\tan \theta = \frac{\cancel{a}}{\cancel{3}} \div \frac{\cancel{3}}{2\cancel{a}\sqrt{2}}\)
\(\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\fbox{\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}}\)
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