Fórum de Matemática
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Olá! Estou resolvendo um problema de funções geradoras:
Encontrar a função geradora para a sequência: (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

No livro que eu uso só é mostrado como conseguir a sequência a partir da função geradora x/ (1-x)², mas o caminho contrário não consigo resolver. Alguém pode me ajudar?

Oi, boa tarde.

Uma opção é você dizer que \(a_n\) é o resto da divisão de \(n\) por \(2\), para \(n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\).
Simbolicamente é: \(a_n = n \text{ mod}(2), \forall n \ge 0\)

Outra opção é usar uma função ramificada:
\(f(n) = \left\{\begin{matrix} 0 & \text{ se } n=2k , k \ge 0 \\ 1 & \text{ se } n=2k+1 , k \ge 0 \\ \end{matrix}\right.\)

É possível encontrar outras formas de representar, não me ocorre agora.

Em todo caso, não existe uma forma generalizada para você encontrar o termo geral de uma sequência. É necessário analisar cada caso e tentar...

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Fraol
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A função geradora associada a uma sucessão \((a_n)_{n=0,1,\dots}\) é a função dada em série de potências por \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\). Neste caso particular é a função dada por \(f(x)=x+x^3+x^5+\cdots =\sum_{k=0}x^{2k+1}\). Como é sabido que \(\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r}\), temos que, tomando \(r=x^2\), \(f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k+1}=x\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^{k}=\frac{x}{1-x^2}\).