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Tenho num plano cartesiano os pontos A(3;2) e B(16;8), calculando a distância entre os pontos tenho como resultado 14,3178 metros (Hipotenusa).
Tudo certo até aqui, porém, se o ponto B se deslocar 3 metros em direção ao ponto A, o seja, se a Hipotensa diminuir 3 metros, qual vai ser a nova coordenada do ponto B?
Como calcular isso?

Boa tarde,
O ponto A tem de coordenadas (3,2) e o ponto B tem de coordenadas (13,y), uma vez que este ponto se deslocou 3 metros em direção ao ponto A.

Seja d a distância de A a B. Como a hipotenusa diminuiu 3 metros, d= 11,3178
Aplicando a fórmula da distância entre A e B temos \(d=\sqrt{\left ( 13-3 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}}\Leftrightarrow \, d=\sqrt{y-4y+104}\Leftrightarrow \, \left ( 11,3178 \right )^{2}=\left ( \sqrt{y-4y+104} \right )^{2}\Leftrightarrow \, 128,0926=y-4y+104\)

Aplicando agora a fórmula resolvente temos (aproximadamente) \(128=y-4y+104\Leftrightarrow \, y-4y-24=0\Leftrightarrow \, y=7,29\; \; \vee \; \; y=-3,29\)

A abcissa de B continua positiva, logo y= 7,29
B tem de coordenadas (13, 7,29)

TelmaG, o ponto B se move em direção ao ponto A, mas não em sentido reto, ele se move na diagonal, no sentido da Hipotenusa, desculpe se não fui claro.
Assim, não posso supor que o ponto B se deslocando 3 metros ele vai ter coordenada (13;y), pois assim, esto assumindo que ele se move horizontalmente.

Boa.
Seja o ponto B' o ponto B deslocado com coordenada (x,y). Desta forma a distância entre B' e A é dado por:

\(D_{\bar{AB'}}=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=14,3178-3=11,3178\)

Como tem duas incógnitas, vai ter infinitas soluções. Mas como no exercício fala que vai em direção a A, então a reta que une A e B também une A e B'. Portanto calculamos a reta que passa nestes dois pontos:

\(\vec{AB}=B-A=(16,8)-(3,2)=(13,6)\)

\(y=\frac{6}{13}x+b
2=\frac{6}{13}\times 3+b
b=\frac{8}{13}\)

Deste modo a reta AB é dada pela equação: \(y=\frac{6}{13}x+\frac{8}{13}\)
Basta substituir na expressão para se tirar a interseção.:

\(\sqrt{(x-3)^2+(\frac{6}{13}x+\frac{8}{13}-2)^2}=11,3178\)

Bem agora basta continuar a equação! Eu coloquei no wolfram e o resultado foi:

\(x=-7,2761\: \vee \: 13,276\)

Como as coordenadas são positivas \(x=13,276\).
Retira-se o y da equação da reta e vem:

\(B'=(13.276\:,\:6.7428)\)