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Mostrar que qualquer função da forma \(z= f\,(x+at)\,+\,g\,(x-at)\) é solução da equação da onda

\(\frac{\partial z^{2}}{\partial t^2}=a^2\,\frac{\partial z^{2}}{\partial x^2}\)

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Pensei em chamar u = x + at e v = x - at.

Daí chego a seguinte conclusão: \(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\)

Minha dúvida está em derivar isso novamente com relação a x.

Alguém pode me dar uma mãozinha por favor?

Obrigado

Repare que f e g são funções reais de variável real...

\(\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x+at) + g'(x-at)
\frac{\partial^2 z }{\partial x^2} = f''(x+at)+g''(x-at)\)

\(\frac{\partial z}{\partial t} = a f'(x+at) - a g'(x-at)
\frac{\partial^2 z }{\partial t^2} = a^2 f''(x+at)+ a^2 g''(x-at)\)