Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite, amigos.

Trago a vocês uma questão que definitivamente não ficou clara pra mim. Achei resoluções na internet, mas nenhuma foi objetiva o suficiente pra me fazer entender.

Essa questão foi de 2006 da prova do CN, e eu gostaria que vocês me dessem uma luz nos seguintes aspectos:

1. Qual o motivo de ele ter colocado os pontos M e N ali, sendo que (pelo que consegui entender do enunciado) não consta?
2. O que o fez assumir que OM, OT e PO estão ligados? E mais, por quê OMP e OTP fazem ângulos retos?

Há uma resolução na imagem, e deixei aí caso alguém pudesse 'decifrar' pra mim o que está dito aí.. porque eu não fui capaz.


Agradeço desde já.

No enunciado são referidos os "pontos médios das cordas XY" (estão a supôr que o X e o Y estão a variar), na resolução limita-se a denominar o ponto médio de cada corda XY por M (este ponto é também variam e descreve uma curva que supostamente será um arco de circunferência). O ponto N é o ponto médio do segmento OP e que quer-se provar ser o centro da circunferência descrita por M (na verdade é um ponto desnecessário pois é possível demonstrar que M está na circunferência de diâmetro OP sem recorrer ao ponto N).

Ligados em que sentido? O segmento OT é útil para determinar o comprimento do segmento OP através do teorema de Pitágoras (\(\Delta OTP\) é um triângulo retângulo em T). Assim se se provar que M está na circunferência de diâmetro OP ficamos a saber o seu raio (que é metade do comprimento de OP).

Este são os passos fundamentais de resolução:
1º- \(\angle OTP\) é reto pois TP é tangente no ponto T à circunferência de centro em O. Isto permite usar o T.P. para mostrar que OP mede 10.
2º- \(\angle OMP=\angle OMX\) é reto pois os triângulos \(\Delta OMX\) e \(\Delta OMY\) têm as mesma medidas: OX=OY, OM=OM, MX=MY. Logo \(\angle OMX=\angle OMY=90^o\). Note-se agora que fixado OP os pontos M tais que \(\angle OMP\) são retos são os pontos da circunferência de diâmetro OP.