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Não garanto que esta seja a resolução mais simples, até porque de simples não tem nada. Mas foi a maneira como consegui resolver o exercício.
Comece por observar que se x é solução da equação então também o é -x (exercício). Isto permite-nos restringir ao caso em que a solução x é positiva.
Seja \(y=\sqrt[3]{x+1}\) e \(z=\sqrt[3]{x-1}\), a equação dada corresponde a \(y-z=yz\).
Seja \(a=y-z=yz\), então \((t-y)(t+z)=t^2-at-a\). Daqui sai que as raízes de \(t^2-at-a\) são \(t=y=\frac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\) e \(t=-z=\frac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2}\) (aqui estou a usar o facto de x positivo garantir que y também o é, logo y corresponde a solução positiva).
Como \(y^3=z^3+2\) tirarmos que \(\left(\frac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\right)^3=\left(\frac{-a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\right)^3+2\) o que, feitas as contas, dá origem à equação cúbica: \(a^3+3a^2=2\).
Uma solução visível (inteira) desta equação cúbica é -1, logo facilmente se tiram as restantes duas soluções: \(-1-\sqrt{3}\) e \(-1+\sqrt{3}\).
Ora \(a=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\) é positivo, logo \(a=-1+\sqrt{3}\).
Sabendo o \(a\) sabemos o \(y=\frac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}\), e sabendo o y sabemos o \(x=y^3-1\).
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