Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Calcule a medida da altura OH do triângulo AOB abaixo:

Boa noite!

Dos triângulos OHB e OHA podemos tirar:
\(\overline{HB}=1000-x
\overline{AH}=x\)

Agora calculando a tangente dos ângulos A e B:
\(\tan{\left(45^{\circ}\right)}=\frac{\overline{OH}}{\overline{HB}}\Rightarrow 1=\frac{h}{1000-x}\Rightarrow h=1000-x\text{ (I)}
\tan{\left(30^{\circ}\right)}=\frac{\overline{OH}}{\overline{AH}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1000-x}{x}\text{ (II)}\)


Começando pela equação (II):
\(\sqrt{3}x=3\left(1000-x\right)
\sqrt{3}x=3000-3x
\sqrt{3}x+3x=3000
x\left(3+\sqrt{3}\right)=3000
x=\frac{3000}{3+\sqrt{3}}=\frac{3000}{3+\sqrt{3}}\cdot\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}
x=\frac{3000\left(3-\sqrt{3}\right)}{9-3}=\frac{3000\left(3-\sqrt{3}\right)}{6}=500\left(3-\sqrt{3}\right)\)

Agora voltando para a equação (I):
\(h=1000-x=1000-500\left(3-\sqrt{3}\right)=500\left[2-\left(3-\sqrt{3}\right)\right]=500\left(\sqrt{3}-1\right)\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

como o ângulo é 30, então o cateto adjacente é h.raiz(3).
No ângulo de 45 graus, o cateto adjacente é h.
Logo, h.raiz(3) + h = 1000
h = 1000/(raiz(3) + 1)