Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Caros colegas, boa noite.

Estou aqui quebrando a cabeça com algo simples. Espero que me ajudem.
Vou pegar 10 mil emprestado de uma pessoa que tem este valor na poupança.
Considerando o rendimento da poupança em 0,7%
Fazendo uma fórmula do excel simples, onde o valor da célula é valor da célula acima mais o juros e repetindo isto por 50 linhas , concluí que o valor que ela teria em 50 meses seria de R$ 14.173,38
Até este momento a planilha do excel está igual a hp12c
Dividindo o número por 50, chego no valor de R$ 283,47 que seria o valor que deveria pagar para pessoa durante 50 meses para que no final do mesmo período ela tivesse o mesmo montante.
Agora que vem a dúvida. se eu coloco na hp12c a prestação de 283,47, o período de 50 meses e o capital inicial de R$ 10,000 taxa que aparece é 1,46.

Se eu fizer ao pé da letra e considerar PV=10.000,00 - n=50, i=0,7 minha parcela mensal seria R$ 237,73

Qual das parcelas está correta ?

Boa noite!

Para melhor entender o valor correto da prestação faz-se necessário deduzir a fórmula para o cálculo dela. Então:
Dados:
PV = valor presente (valor da dívida ou valor a ser emprestado na data de hoje)
PMT = prestação periódica (pode ser mensal, bimestral, diária, anual... deste que o período sempre seja o mesmo)
n = número de prestações, vencendo a primeira 1 período após o valor presente
i = taxa de juros

Caso tivéssemos só um valor a ser calculado teríamos o seguinte:
M = montante
C = capital (data zero)
i = taxa de juros
n = número de períodos
\(M=C(1+i)^n\)

Se quiséssemos calcular o valor atual (C) teríamos:
\(C=\frac{M}{(1+i)^n}\)

Veja que para calcular o valor no futuro (montante), multiplicamos por \((1+i)^n\). Já para calcularmos o valor em uma data anterior (tal como a data zero) basta dividir por \((1+i)^n\). Então, para uma série de pagamentos teremos:
\(PV=\frac{PMT}{(1+i)^1}+\frac{PMT}{(1+i)^2}+\frac{PMT}{(1+i)^3}+\cdots+\frac{PMT}{(1+i)^{n-1}}+\frac{PMT}{(1+i)^n}
PV=PMT\left[\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{1}{(1+i)^3}+\cdots+\frac{1}{(1+i)^{n-1}}+\frac{1}{(1+i)^n}\right]\)
Iremos aplicar agora a fórmula de somatório de P.G.:

\(PV=PMT\frac{1}{(1+i)}\left[\frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^n-1}{\frac{1}{(1+i)}-1}\right]
PV=PMT\frac{1}{(1+i)}\left[\frac{\frac{1-(1+i)^n}{(1+i)^n}}{\frac{1-(1+i)}{1+i}}\right]
PV=PMT\left[\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}\right]
PV=PMT\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]\)

Veja que agora com a fórmula podemos calcular o que foi proposto:
\(PV=10000
PMT=?
i=0,7\%\text{ a.m.}
n=50\text{ mensalidades}\)

Então:
\(PV=PMT\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]
10000=PMT\left[\frac{1-(1+0,7\%)^{-50}}{0,7\%}\right]
PMT=\frac{10000\cdot 0,7\%}{1-(1+0,7\%)^{-50}}
PMT\approx 237,73\)

Este é o valor da parcela.

Pode ser verificado facilmente que este valor é o verdadeiro calculando-se através da seguinte ideia: cada prestação encerra duas parcelas, uma destinada a amortizar a dívida e outra correspondente aos juros, parcela esta que é 'perdida'.
Então:
P=A+J, onde P = prestação, A = amortização e J = juros.
Então:

\(\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\hline
n & P & A & J & SD \\
\hline
0 & - & - & - & 10.000,00 \\
1 & 237,73 & 237,73-70,00 = 167,73 & 0,7\%\cdot 10.000,00 = 70,00 & 10.000,00-167,73 = 9.832,27 \\
2 & 237,73 & 237,73-68,83 = 168,90 & 0,7\%\cdot 9.832,27 = 68,83 & 9.832,27-168,90 = 9.663,37 \\
3 & 237,73 & 170,09 & 67,64 & 9.493,28 \\
4 & 237,73 & 171,28 & 66,45 & 9.322,00 \\
5 & 237,73 & 172,48 & 65,25 & 9.149,52 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
45 & 237,73 & 227,99 & 9,74 & 1.164,06 \\
46 & 237,73 & 229,58 & 8,15 & 934,48 \\
47 & 237,73 & 231,19 & 6,54 & 703,29 \\
48 & 237,73 & 232,81 & 4,92 & 470,48 \\
49 & 237,73 & 234,44 & 3,29 & 236,04 \\
50 & 237,73 & 236,08 & 1,65 & -0,04\\
\hline
\end{tabular}\)

Espero que tenha ajudado! Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles