Fórum de Matemática
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Olá. É possível calcular o volume de um sólido escolhendo como intervalos de integração um número n=2 e o segundo limite ser +∞?
Foi me dado um problema no qual a equação se apresentava na forma f(x)=y=1/x, no qual o primeiro limite era a reta x=2 e a região girava em torno do eixo Ox. Essa integral é divergente, portanto, como faria para achar o volume da região ? Ah, a região está definida no primeiro quadrante apenas.

Boa noite!

Como se quer o volume de um sólido de revolução pode calcular a seguinte integral:
\(\int_{a}^{b}\;{\pi\left[f(x)\right]^2}\mathrm{d}x\)

No caso, o limite inferior vale 2 (reta x=2) e o superior vale + infinito. Como \(f(x)=\frac{1}{x}\), então:
\(\int_{2}^{+\infty}\;{\pi\left(\frac{1}{x}\right)^2}\mathrm{d}x\Rightarrow \int_{2}^{+\infty}\;{\pi\cdot\frac{1}{x^2}}\mathrm{d}x
\pi\int_{2}^{+\infty}\;{x^{-2}}\mathrm{d}x\Rightarrow \pi\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_{2}^{+\infty}
\pi\left[\frac{-1}{x}\right]_{2}^{+\infty}\Rightarrow \pi\left(\frac{-1}{\infty}-\frac{-1}{2}\right)
\pi\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow \frac{\pi}{2}\)

Acho que está certo!

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Eu não sabia que poderia se usar o limite superior como sendo +∞, visto que não se daria nem para calcular a área, já que a integral é divergente. Testei usando o método da divisão em fatias, pois essa função, ao sofrer revolução, forma um conjunto de esferas de raio 1/x que começam em x=2 e iam ate o infinito. Ficou assim:
raio=1/x ,e então , Área da circunferência formada é:
A=π.(1/x)^2
A=π/x^2
O intervalo de integração começa em x=2(reta) e eu experimentei um limite superior=5. Assim:
\(\int_{2}^{5}(\pi/x^2).dx\)
Resolvendo a integral e fazendo o limite superior cada vez maior, acho um valor aproximado e o arredondo.

Este método está certo?
Obrigado