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Determine m de modo que o numero a esteja entre as raízes da equação do segundo grau.



(m^2 - 1)x^2 + (m - 3)x + m + 1 = 0 e a = 1

Boa noite!

Como se deseja o valor de a=1 como raiz da equação, teremos:
\((m^2 - 1)x^2 + (m - 3)x + m + 1 {=} 0
(m^2 - 1)(1)^2 + (m - 3)(1) + m + 1 {=} 0
m^2-1+m-3+m+1{=}0
m^2+2m-3{=}0
\Delta{=}(2)^2-4(1)(-3){=}4+12{=}16
m{=}\frac{-(2)\pm{sqrt{16}}}{2(1)}
m{=}\frac{-2\pm{4}}{2}
m'{=}\frac{-2+4}{2}=1
m''{=}\frac{-2-4}{2}=-3\)

Então, basta substituirmos o valor de m por 1 ou -3 para obter o que se pede.
Substituindo por 1:
\((1^2 - 1)x^2 + (1 - 3)x + 1 + 1 {=} 0
0x^2-2x+2{=}0
-2x+2{=}0\)

Veja que a raiz é realmente 1, mas NÃO é uma equação do segundo grau.
Substituindo por -3:
\(((-3)^2-1)x^2+(-3-3)x+(-3)+1{=}0
8x^2-6x-2{=}0\)

Veja, então, que somente o número -3 é solução para o problema (a=1 estar entre as raízes da equação do SEGUNDO GRAU!

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

na verdade o numero a = 1 tem que estar entre as raízes da equação não ser uma delas ai temos que determinar m de modo que isso ocorra

Bom dia!

Observe que na equação:
\(8x^2-6x-2=0\)

Pode ser simplificado ainda:
\(4x^2-3x-1-0\)

Uma das raízes vale 1.

E esta equação foi obtida de
\((m^2-1)x^2+(m-3)x+m+1{=}0\)
Quando substituí m=-3.

Entendeu?

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Se 1 está entre as raízes, então quando x = 1, (m^2 - 1)x^2 + (m - 3)x + m + 1 é diferente de 0.
Logo, substituindo x por 1, temos:
m² + 2m - 3 # 0
ou seja, m deve ser diferente de -1 , 1 e de -3.

Se a concavidade estiver "virada para cima", isto é, se \(m^2-1>0\), basta escolher m de modo que, adicionalmente, se tenha \(f(1)<0\). Isto significa que podemos tomar qualquer \(m \in ]-3,-1[\). Por outro lado, se \(m^2-1 < 0\), devemos exigir que f(1)>0, o que não fornece nenhuma solução.

Assim, a resposta final é que podemos escolher qualquer \(m \in]-3,-1[\).

AGORA ENTENDI!

DESCULPE-ME PELA CONFUSÃO

Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

eu também consegui nessa resposta mas como no livro estava que a resposta era -3 < m < x eu coloquei a pergunta para verificar se meu raciocínio estava correto