Fórum de Matemática
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Uma empresa necessita adquirir uma máquina no valor de R$ 8.400,00. A empresa possui metade desse valor e poderá usar como entrada da compra. Nos próximos 3 meses, não poderá realizar nenhum pagamento, mas após esse período, ela pagará tantas prestações mensais de R$ 974,00 quantas forem necessárias mais um pagamento residual ao final, um mês após o pagamento da última, de valor inferior ao da prestação. Sabendo-se que a taxa de juros efetiva cobrada é de 10% am, determinar:

a) Qual o diagrama de fluxo de caixa do financiamento?

b) Qual o número de prestações necessárias?

c) Qual o valor do pagamento residual?

Olá,

Primeiro tem-se que levar em consideração os 3 meses de carência que a empresa ficará sem pagar mas o juros ocorre normalmente então faz-se assim na hp:
8400[CSH][PV]3[N]10[I][FV]= 11.180,40 (esse é o novo valor presente o qual será realmente financiado). Sabendo que as prestações são de 974,00 (acreditando que esse valor já esteja calculado com a taxa de juros) eu dividi o valor total de 11.180,40 por 974,00 e cheguei no resultado de 11,4789. Logo a empresa pagará 11 parcelas de 974,00 e o valor residual é de 0,4789*974= 466,40 que será acrescentado a ultima parcela que será de 1.440,40.

Não tenho total certeza se está correto essa resolução, mas caso esteja as respostas seriam:

A) Tempo Valor
0 (11,180,40)
1 974,00
2 974,00
3 974,00
4 974,00
5 974,00
6 974,00
7 974,00
8 974,00
9 974,00
10 974,00
11 1140,40

B) 11 prestações
C) 466,40

Boa noite!

O bem custa, à vista, 8400. É dada uma entrada de 50% e ficamos devendo os outros 50%.
O saldo devedor inicial é, portanto, de 50% de 8400 = 4200.

Então temos que corrigir este valor pelo período de 3 meses que não pagará nada.
\(PV=4200
n=3
i=10\%
FV=PV\cdot\left(1+i\right)^{n}
FV=4200\cdot\left(1+10\%\right)^{3}
FV=4200\cdot\left(1+0,1\right)^{3}
FV=4200\cdot{1,1}^{3}
FV=5590,20\)

Este valor será agora pago em n prestações de 974. Vamos descobrir o valor de n:
\(PV=PMT\cdot\left[\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]
5590,20=974\cdot\left[\frac{1-\left(1+10\%\right)^{-n}}{10\%}\right]
5590,20=974\cdot\left(\frac{1-1,1^{-n}}{0,1}\right)
\frac{0,1\cdot{5590,20}}{974}=1-1,1^{-n}
1,1^{-n}=1-\frac{0,1\cdot{5590,20}}{974}
n=-\frac{\log\left(1-\frac{0,1\cdot{5590,20}}{974}\right)}{\log(1,1)}
n\approx{8,95}\)

Ou seja, pagaremos 8 prestações completas de 974 e teremos ainda uma prestação menor a ser paga no último mês.
Calculando, então, o saldo devedor no 8º mês após termos pago 8 prestações de 974 e corrigindo este valor para saber quanto pagar no mês posterior (9º mês):
Para atualizar o saldo devedor usaremos a fórmula seguinte:
\(FV=PV\cdot\left(1+i\right)^{n}\)

Para atualizar as 8 prestações na data correta utilizaremos a fórmula seguinte:
\(FV=PMT\cdot\left[\frac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}\right]\)

O saldo devedor será dado pela diferença entre as duas:
\(SD=5590,20\cdot\left(1+10\%\right)^{8}-974\cdot\left[\frac{\left(1+10\%\right)^{8}-1}{10\%}\right]
SD=5590,20\cdot{1,1}^8-974\cdot\left(\frac{1,1^8-1}{0,1}\right)
SD\approx{11983,09-11138,56}
SD\approx{844,54}\)

Agora, no último mês:
\(SD=844,54(1+10\%)=844,54(1,1)
SD=928,99\)

Este será o valor a ser pago no último mês para quitar a dívida.
Vou deixar uma tabela abaixo com todo o fluxo de caixa de forma a termos a certeza dos cálculos terem sido corretamente realizados.
\(\begin{array}{c|r|r|r|r}
\hline
n & P & A & J & SD\\
\hline
0 & 4200,00 & 4200,00 & - & 8400,00-4200,00=4200,00\\
1 & 0,00 & 0,00-420,00=-420,00 & 10\%\;\cdot\;{4200,00}=420,00 & 4200,00-(-420,00)=4620,00\\
2 & 0,00 & 0,00-462,00=-462,00 & 10\%\;\cdot\;{4620,00}=462,00 & 4620,00-(-462,00)=5082,00\\
3(0) & 0,00 & 0,00-508,20=-508,20 & 10\%\;\cdot\;{5082,00}=508,20 & 5082,00-(-508,20)=5590,20\\
4(1) & 974,00 & 974,00-559,02=414,98 & 10\%\;\cdot\;{5590,20}=559,02 & 5590,20-414,98=5175,22\\
5(2) & 974,00 & 974,00-517,52=456,48 & 10\%\;\cdot\;{5175,22}=517,52 & 5175,22-456,48=4718,74\\
6(3) & 974,00 & 974,00-471,87=502,13 & 10\%\;\cdot\;{4718,74}=471,87 & 4718,74-471,87=4216,61\\
7(4) & 974,00 & 974,00-421,66=552,34 & 10\%\;\cdot\;{4216,61}=421,66 & 4216,61-552,34=3664,27\\
8(5) & 974,00 & 974,00-366,43=607,57 & 10\%\;\cdot\;{3664,27}=366,43 & 3664,27-607,57=3056,70\\
9(6) & 974,00 & 974,00-305,67=668,33 & 10\%\;\cdot\;{3056,70}=305,67 & 3056,70-668,33=2388,37\\
10(7) & 974,00 & 974,00-238,84=735,16 & 10\%\;\cdot\;{2388,37}=238,84 & 2388,37-735,16=1653,21\\
11(8) & 974,00 & 974,00-165,32=808,68 & 10\%\;\cdot\;{1653,21}=165,32 & 1653,21-808,68=844,53\\
12(9) & 928,99 & 928,99-84,45=844,54 & 10\%\;\cdot\;{844,53}=84,45 & 844,53-844,54=-0,01\\
\hline
\sum & 8720,99 & 4200,01 & 4520,98 & -
\hline
\end{array}\)

A tabela anterior foi montada da seguinte forma:
1o.) Saldo Devedor inicial obtido após pagar 50% de entrada (4200) e abater do valor original (8400).
2o.) A coluna J (juros) é sempre 10% do saldo devedor do período anterior.
3o.) A coluna A (amortização) é sempre o valor do pagamento naquele período subtraído dos juros.
4o.) A coluna saldo devedor é o saldo devedor anterior subtraído da amortização (que é o abatimento a cada período)
5o.) Agora é só calcular os juros do próximo período (volta para o passo 2) e refaça até a acabar! UFA!

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles