Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um jardineiro constrói um canteiro rectangular com 108m2 de área. No retângulo quer fazer uma vedação em forma de elipse, para tal fixa as extremidades de uma corda com 12 m de comprimento, a duas estacas. De quantos metros de rede irá precisar?

Podem ajudar-me? Obrigado

Este é o enunciado completo? Apenas com esta informação não é possível garantir que a elipse assim desenhada permaneça dentro do rectangulo... Mesmo esquecendo o rectangulo, a determinação do perímetro de uma elipse não pode ser feito de um modo simples a partir da medida dos semi-eixos... Estudou alguma das fórmulas de aproximação do perimetro de uma elipse?

Dos dados do problema, resulta que o eixo maior deve ter medida 12. No entanto, sem saber a distancia entre as duas estacas, não fica fixado o valor do perímetro, que poderá variar entre 24 (quando o foco se aproxima do semi-eixo maior) e \(12 \pi\) quando o foco coincide com o centro.

Podemos ainda ver como a questão da área do rectangulo vai influenciar a resposta... Se um dos lados do rectangulo tiver medida 12, o outro lado deverá medir 9 (para que a área seja 108). Deste modo, vemos que o semi-eixo menor da elipse será no máximo 4.5, o que corresponde a um foco situado a \(3 \sqrt{7}/2\) do centro. O perímetro correspondente é aproximadamente 33.1552.

A resposta, com os dados disponíveis é portanto que precisará, no máximo, de 33.1552 m de rede e no mínimo 24.

semieixo maior:
\(a = \frac{12}{2} = 6m\)

semieixo menor:
\(b = \frac{108}{12.2} = 4,5m\)

\(c^2 = 6^2 - 4,5^2
c = 3,97m\)

excentricidade:
\(e = \frac{c}{a}
e = 0,66\)

comprimento minimo da rede:
\(L \simeq \pi.a(2-\frac{e^2}{2}-\frac{3e^4}{32}-\frac{5e^6}{128})
L \simeq 33,16m\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.