derivadas pontos de max e min velocidade que minimiza

[leticia7]

Para nadar certa distância fixada, uma espécie de peixe dispende energia E (dada em Joules), dada pela função
E(v) =(5*v^3 )/ (v-1) ,
em que v (v > 1) é a velocidade média do peixe (dada em cm/s). A velocidade que minimiza a energia
dispendida por essa espécie de peixe, para percorrer a distância, é

[Sobolev]

O que é que tentou fazer?

[leticia7]

Eu derivei e coloquei igual a zero para tentar encontrar o pontos críticos. Só que não deu muito certo. Não sei como fazer

[Sobolev]

Ok, então vejamos em primeiro lugar a questão da derivada:

\(E'(v)=\left(\frac{5v^3}{v-1}\right)' = \frac{(5v^3)' (v-1) - (v-1)' 5v^3}{(v-1)^2} = \frac{15v^2(v-1) - 5v^3}{(v-1)^2} = \frac{5v^2(3(v-1)-v)}{(v-1)^2}=\frac{5v^2 (2v-3)}{(v-1)^2}\)

Ora, nesse caso é fácil ver que

\(E'(v)= 0 \Leftrightarrow v = 0 \vee v= \frac 32\).

A solução \(v=0\) deve ser excluída porque é dito que \(v>1\), pelo que a resposta será \(v = \frac 32\).

[leticia7]

eu tinha chegado nesse valor (10v³ - 15v²) / (v-1)² que e o mesmo que vc colocou mais de outra forma. 5v²(2v-3)/(v-1)².
muito obrigado pela sua ajuda. agora minha dificuldade e como foi para vc encontrar as raizes. poderia me ajudar nessa parte e bem ai minha dificuldade por que eu fiz assim (10v³ - 15v²) / (v²-2v+1) e depois nao conseguir sair.

[Sobolev]

Bom dia,

Um quociente é nulo se e só se o numerador é nulo. Além disso, se o numerador estiver factorizado, pode usar a lei do anulamento do produto.

\(\frac{10v^3-15v^2}{v^2-2v+1} = 0 \Leftrightarrow 10v^3-15v^2 = 0 \Leftrightarrow 5v^2(2v-3)= 0 \Leftrightarrow v = 0 \vee 2v-3 = 0 \Leftrightarrow v=0 \vee v=\frac 32\)

[leticia7]

muito obrigada.