Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Obrigado Baltuilhe por participar e compartilhar esse belo desenvolvimento.


Oi gustavo_pch, o maior valor tem-se quando ocorre igualdade direita, ou seja nos triângulos retângulos como fiz no início, quando \(a\sin(\theta)+b\cos(\theta)\) é igual à medida da hipotenusa. O desenvolvimento do Baltuilhe nos dá o caso geral, para triângulos quaisquer.

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

Bom dia!

Sim, Gustavo!

Para ter o maior valor \(\sqrt{a^2+b^2}\) o valor de \(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)\) deve ser zero. Então:
\(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)=0
-b\sin(\theta)=-a\cos(\theta)
\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{-a}{-b}
\tan(\theta)=\frac{a}{b}\)

Este será o ângulo que obterá o maior valor (ou o menor valor) para a função, dependendo do sinal dos valores de a e b.

Vamos estudar estes sinais:
1o. caso: a>0
Para b>0 o valor de arcotangente será um ângulo entre 0 e 90 graus. Tanto seno quanto cosseno são positivos neste intervalo então o valor da função será positivo.
Para b<0 o valor de arcotangente será um ângulo entre 90 e 180 graus. Seno será positivo e será multiplicado pelo a positivo, dando valor positivo. b é negativo e será multiplicado pelo cosseno, que entre 90 e 180 dá um valor negativo. Portanto bcos(theta) é um valor positivo. Conclusão, a função é positiva também.

2o. caso: a<0
Para b<0 o valor de arcotangente será um ângulo entre 0 e 90 graus. Tanto seno quanto cosseno são positivos neste intervalo então o valor da função será negativo. (pois tanto a quanto b são negativos)
Para b>0 o valor de arcotangente será um ângulo entre 90 e 180 graus. Seno será positivo e será multiplicado pelo a negativo, dando valor negativo. b é positivo e será multiplicado pelo cosseno, que entre 90 e 180 dá um valor negativo. Portanto bcos(theta) é um valor negativo. Conclusão, a função é negativa também.

Então, quem determina o sinal da função para o máximo/mínimo é o sinal de a. a>0 a função terá um máximo. a<0 a função arcotangente retornará o ângulo que dá o mínimo. Somando-se 180 graus obtemos o oposto.

Outro raciocínio importante:
Para obter o ângulo que zera a função usarei o raciocínio para obter o valor 'neutro' (que está no 'meio' do caminho).
Então, para zerar a função:
\(a\sin(\theta)+b\cos(\theta)=0
a\sin(\theta)=-b\cos(\theta)
\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{-b}{a}
\tan(\theta)=-\frac{b}{a}\)

Veja que se fizer o produto entre estes dois ângulos (a/b e -b/a) valores obtidos para o ângulo theta obterá -1. Lembra-se da geometria analítica? Quando queria obter a equação de duas retas perpendiculares entre si? O produto de seus coeficientes angulares vale -1, certo?
Este é o caso!

Então, com uma defasagem de 90 graus com relação ao ângulo de maior valor para a função esta irá obter o seu zero. Podemos concluir que 180 graus de defasagem irá obter o valor máximo (ou mínimo) da função!

Para o valor oposto, então:
\(\tan(\theta+\pi)=\frac{a}{b}\)

Veja também que:
\(a\sin(\theta+\pi)+b\cos(\theta+\pi)=a(-\sin(\theta))+b(-\cos(\theta))=-(a\sin(\theta)+b\cos(\theta))\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Entendi quase tudo. Não estudei muito sobre funções de arco ainda. Vou seguir estudando o livro e provavelmente daqui uns dias quando eu ler essa explicação de novo vou conseguir compreender o restinho.

Muito obrigado a vocês dois . Esse tipo de explicação que vai parte por parte sem omitir passos faz toda diferença.

Se eu marcar o tópico como resolvido, vou conseguir postar mais alguma coisa aqui caso seja necessário?

Boa tarde!

Fraol, gustavo_pch, fico feliz em ter realmente ajudado!

Espero sempre poder contribuir aos colegas aqui do fórum!

Abraços!!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles