Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(Mostre\;que\;a+c\;\leq\;b+c\Rightarrow a\leq\;b,\;quaisquer\;que\;sejam\;a,\;b,\;c\;naturais.\)

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"Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina." Cora Coralina

O melhor é usar a indução na variável c. Tudo se resume a provar que \(a+1\leq b+1 \Rightarrow a\leq b\), já que o passo de indução resulta da seguinte sequência de implicações:
\(a+(c+1)\le b+(c+1) \Leftrightarrow (a+c)+1\le (b+c)+1 \Rightarrow a+c\le b+c \stackrel{H.I.}{\Rightarrow} a\le b\).

Para provar \(a+1\leq b+1 \Rightarrow a\leq b\) (ou seja, \(S(a)\leq S(b) \Rightarrow a\leq b\) onde \(S(x)=x+1\) é o sucessor de \(x\)), através dos axiomática de Peano, só tem que usar a definição de desigualdade: (1) \(x\le y \stackrel{\rm def}{\Leftrightarrow} \exists_z x+z=y\), a recursividade da soma: (2) \(x+S(y)\stackrel{\rm def}{=}S(x+y)\), a comutatividade da soma: (3) \(x+y=y+x\) e a injetividade da função sucessor: (4) \(S(x)=S(y)\Rightarrow x=y\) (axioma). Concluindo:

\(S(a)\le S(b) \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} \exists_x S(a)+x=S(b) \stackrel{(3)}{\Leftrightarrow}\exists_x x+S(a)=S(b)\stackrel{(2)}{\Leftrightarrow}\exists_x S(x+a)=S(b)\stackrel{(4)}{\Leftrightarrow}\exists_x x+a=b\stackrel{(3)}{\Leftrightarrow}\exists_x a+x=b\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow}a\le b\)

O que significa esse "def" e "H.I"? E quais livros devo adquirir?

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"Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina." Cora Coralina

Significam "definição" e "Hipótese de Indução" respetivamente. Portanto \(a+c\le b+c \stackrel{H.I.}{\Rightarrow} a\le b\) lê-se "\(a+c\le b+c\) implica \(a\le b\) por hipótese de indução" enquanto \(x\le y \stackrel{\rm def}{\Leftrightarrow} \exists_z x+z=y\) lê-se "\(x\le y\) é equivalente, por definição, a existir \(z\) tal que \(x+z=y\)".


Se o exercício que propôs estiver inserido nalguma disciplina que esteja a frequentar/estudar então o melhor é perguntar ao docente dessa disciplina.

Sou um estudante autônomo de qualquer forma sou grato desde já!

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