Fórum de Matemática
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―Um problema que perturbava o grão duque da Toscana era o seguinte: Quando jogamos três dados distintos,
porque que o número 10 aparece com mais frequência que o número 9?‖
O fragmento acima descreve a diferença entre as chances de se obter, no lançamento de três dados distintos,
honestos e numerados de 1 a 6, a soma igual a 9 ou a soma igual a 10.
42. Tomando como base os 3 dados do enunciado, o número de formas diferentes de se obter a soma igual a 9, será
igual a:
A) 5.
B) 25.
C) 31.
D) 36.
43. A probabilidade de se obter a soma igual a 10 no lançamento dos 3 dados descritos nas informações acima será
de:
A)
8
1
B)
72
11
C)
36
5
D)
72
5

Resultados para dar 9
1,2,6 -----> 6 maneiras
1,3,5 ------> 6 maneiras
1,4,4 ------> 3 maneiras
2,2,5 ------> 3 maneiras
2,3,4 ------> 6 maneiras
3,3,3 ------> 1 maneira
Um total de 25 maneiras

Resultados para dar 10
1,3,6 ----> 6 maneiras
1,4,5 ----> 6 maneiras
2,2,6 ----> 3 maneiras
2,3,5 ----> 6 maneiras
2,4,4 ----> 3 maneiras
3,3,4 ----> 3 maneiras
Um total de 27 maneiras

Logo, 27/216 = 1/8

Mas para achar essas maneiras, so fazendo na mao, ou tenho alguma formula?

Isso mesmo, tem que fazer no braço.

Na verdade existe uma forma alternativa de chegar a esses valores. Um lançamento de dados que dê n (com n entre 6 e 12) é uma partição de n em três números não-nulos: n=a+b+c (a,b,c>0) com a condição extra dos números a, b e c não excederem 6. As partições (sem partes nulas) de n=a+b+c está em bijeção com os subconjuntos de 2 elementos de {1,2,...,n-1}: (a,b,c)<->{a,a+b}. Portanto, o nº de partições (sem partes nulas) de n=a+b+c é \({n-1\choose 2}\). Para termos a condição extra dos números a, b e c não excederem 6 é necessário subtrair aquelas partições em que uma das partes excede 6. O nº dessas são \(3\times {n-7\choose 2}\) pois essas obtêm-se a partir uma partição (sem partes nulas) de n-6=c+d+e através das correspondências (c,d,e)<->(c+6,d,e), (c,d,e)<->(c,d+6,e) e (c,d,e)<->(c,d,e+6).
Concluindo, há \({8\choose 2}-3\times {2\choose 2}=25\) lançamentos que dão 9 e \({9\choose 2}-3\times {3\choose 2}=27\) lançamentos que dão 10.