Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite, alguém me pode por favor explicar como resolver este exercício passo a passo? Ver imagem em anexo. As soluções indicadas são:

a) 8
b) 1
c) 7
d) 3
e) 12

Se conseguir saber os valores de A, B e C, sei calcular o resto, mas não consigo descobrir estes valores. Agradecia imenso a ajuda! Obrigada

Olhando para a figura, que vou representar esquematicamente por ({[)]} com A=(), B={} e C=[], vemos que se divide em 5 partes disjuntas (U{V[X)Y]Z} onde \(U=A-B\), \(V=A\cap B -C\), \(X=A\cap C\), \(Y=C-A\) e \(Z=B-(A\cup C)\). Por notação, vamos usar as letras minúsculas para indicar a cardinalidade dos conjuntos denotados pelas respectivas maiúsculas (por exemplo \(u=\# U\)).
São nos dados que:
\(\sharp (A\cup B)=24 \Leftrightarrow u+v+x+y+z=24\)
\(\sharp (A\cap B)=4 \Leftrightarrow v+x=4\)
\(\sharp (B\cup C)=16 \Leftrightarrow v+x+y+z=16\)
\(\sharp (A-C)=11 \Leftrightarrow u+v=11\)
\(\sharp (B-C)=10 \Leftrightarrow v+z=10\)

Agora so tem de resolver o sistema de equações lineares para obter os valores de \(u,v,x,y,z\) e assim determinar:
(a) \(\sharp (A-B)=u\)
(b) \(\sharp (A\cup B\cup C)=x\)
(c) \(\sharp (B-(C\cup A))=z\)
(d) \(\sharp ((A\cap B)-C)=v\)
(e) \(\sharp (B-(A\cap B))=y+z\)

Se não quiser resolver o sistema proposto pelo Rui, pode notar o seguinte:

1. Como \(C\subset B\) temos que \(\sharp B = \sharp (B\cup C) = 16\).

2. \(\sharp (A \cup B) = \sharp A + \sharp B -\sharp (A\cap B ) \Leftrightarrow 24 = \sharp A + 16 - 4 \Leftrightarrow \sharp A={12}\)

3. Como \(C \subset B\), tem-se \(\sharp (B - C) = \sharp B -\sharp C \Leftrightarrow 10 = 16-\sharp C \Leftrightarrow \sharp C=6\)

a) \(\sharp (A-B) = \sharp A - \sharp( A \cap B) = 12 -4 =8\)

b) ...