Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Tudo bem, pessoal?
Me chamo Galileu.
Estou precisando de um "help" de vocês.
Me deparei com essa questão e não consigo resolver.
Gostaria de saber se vocês poderiam me ajudar na resolução.

Segue a questão:

Considere o seguinte Teorema:
Dados \(X\subset \mathbb{R}\) e \(a\in \mathbb{R}\), as seguintes afirmações são equivalentes:
a) \(a\) é um ponto de acumulação de \(X\);
b) \(a\) é limite de uma sequencia de pontos \(x_{n}\in X-\left \{ a \right \}\);
c) Todo intervalo aberto de centro \(a\) contém uma infinidade de \(X\).

Prove: b) \(\Rightarrow\)a).


Agradeço desde já.

Antes de mais convem em exercícios deste tipo dar a definição o livro ou o professor usa, pois nem sempre esta é universal (por exemplo há quem defina um ponto de acumulação de X como o que vem descrito na alínea b).
Penso que a definição de ponto de acumulação que está a usar é a de um ponto \(a\) tal que qualquer vizinhança desse ponto intersecta \(X\setminus\{a\}\). Isso sendo, b)\(\Rightarrow\)a) resulta facilmente da definição de limite: \(a\) é limite de \((x_n)\) se para qualquer vizinhança de \(a\) existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão a partir dessa ordem estão nessa vizinhança, ou seja, a vizinhança intersecta \(X\setminus\{a\}\) pois \((x_n)\) é uma sucessão de termos em \(X\setminus\{a\}\).