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Boa noite.
Há algum método mais rápido de determinar um elemento da linha i e coluna j (por exemplo elemento da linha 2 e coluna 3) da matriz inversa de uma matriz A? Ou temos mesmo de recorrer à transformação da matriz A na matriz identidade?
Obrigado!

Boas

Uma pergunta interessante.

Uma forma que estou a ver de repente (poderão haver outras) é através da adjunta

Sabemos que (2x2)

\(\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix} =\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}\)

Para o caso geral

\(\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\
\end{pmatrix}\)

Assim, parece-me que tem de calcular sempre \(\det(A)\), e o elemento em causa da matriz dos cofatores

Poderão haver outras formas, mas desconheço...

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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