Fórum de Matemática
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(Rosen6-seção 5.5-ex. 9) Uma padaria vende pães temperados, pães com gergelim, pães integrais,
pães salgados, pães de centeio, pães com uvas passas, pães com erva doce e pães comuns. Quantos
modos existem para escolher:

uma dúuzia de pães com no mínimo 3 pães integrais e não mais do que 2 pães salgados?

Olá,

Para resolver este problema vou ter de recorrer a combinações com repetições (multiset coefficient: ver aqui ou o teorema 2 daqui). Dado \(n\) tipos de pães há \(\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)={n+k-1\choose k}\) maneiras de escolher \(k\) pães.

Se não houvessem os constragimentos de ter mínimo 3 pães integrais e não mais do que 2 pães salgados, a solução seria apenas \(\left(\!\!{8\choose 12}\!\!\right)={19\choose 12}=\frac{19!}{12!7!}\).

Mas com tais constragimentos temos que a solução é dada por:
\(\left\{\left(\!\!{7\choose 12}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 12}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)\right\}+\left\{\left(\!\!{7\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 9}\!\!\right)\right\}+\left\{\left(\!\!{7\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 9}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 8}\!\!\right)\right\}\)
(na 1ª parcela temos fixamos 0 pães salgados, escolhemos 12 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais, na 2ª parcela temos fixamos 1 pão salgado, escolhemos os restantes 11 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais, e na 3ª parcela temos fixamos 2 pães salgados, escolhemos os restantes 10 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais).

Agora é fazer contas. Duas dicas que pode facilitar as contas:
1ª \(\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)={n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}\).
2ª \({m\choose l}+{m+1\choose l}+\cdots +{m+k\choose l}={m+k+1\choose l+1}-{m\choose l+1}\).