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Considere a curva C: x(t) = 3(t²-3); y(t) = t(t²-3), t pertence a [-√3, √3]


a) Equação da reta no ponto (-8, 8√3/9)
b) área da região
c) comprimento da curva

a) Equação da reta que passa por
\((-8,\frac{8\sqrt3}{9})\ e\ (0,0)\\
y-y_0=m(x-x_0),\ m=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{8\sqrt3/9}{-8}=-\frac{\sqrt3}{9}\\ y-0=-\frac{\sqrt3}{9}(x-0)==>y=-\frac{\sqrt3}{9}\\\)

b)Área da região limitada pela curva e pelo eixo OX:
\(y=t^3-3t;\ x=3t^2-9\ e\ dx=6tdt\\ A=\int_{a}^{a}ydx=2\int_{0}^{\sqrt3}(t^3-3t)6tdt=2\int_{0}^{\sqrt3}6(t^4-3t^2)dt=12\left [ \frac{t^5}{5}-t^3 \right ]_0^{\sqrt3}= 12\left [ \frac{t^5-5t^3}{5} \right ]_0^{\sqrt3}=\frac{12}{5}\left [ -6\sqrt3 \right ]=\frac{72}{5}\sqrt3\\\)

c) Comprimento da curva:
\(C=\int_{ta}^{tb}\left [ (\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2 \right ]^{1/2}dt\\ (\frac{dx}{dt})^2=(6t)^2=36t^2\ e\ (\frac{dy}{dt})^2=(3t^2-3)^2=9t^4-18t^2+9\\ C=2\int_{0}^{\sqrt3}(9t^4+18t^2+9)dt=2\int_{0}^{\sqrt3}\left [ (3t^2+3)^2 \right ]^{1/2}dt=\int_{0}^{\sqrt3}(3t^2+3)dt=2\left [ t^3+3t \right ]_0^{\sqrt3}=2\left [ (\sqrt3)^3+3\sqrt3 \right ]=12\sqrt3\)