Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Dado o histograma pede-se média, variância, moda e mediana.

* Imagem do Histograma em anexo.

Andrelct
Média:
\(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{5}x_i}{5}
\bar{X}=\frac{10+15+20+25+30}{5}
\bar{X}=20%\)

Variância:
\(\sigma ^2=\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{X})^2}{5}
\sigma ^2=\frac{(10-20)^2+(15-20)^2+(20-20)^2+(25-20)^2+(30-20)^2}{5}
\sigma ^2=50%\)

Moda:
é o valor mais frequente.
não existe moda nessa distribuição, de acordo com esse histograma.

Mediana:
valor central, depois de colocar os dados ordenados. se não houver um valor central, será a média dos 2 elementos centrais.
10, 15, 20, 25, 30

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa noite!

Fazendo uma pequena correção nas contas, jorgeluis

Média:
A média é calculada pelos pontos médios das classes, que são:
3, 5, 7, 9, 11 (médias entre o limite inferior e superior de cada classe)
Assim:
\(\overline{x}=\dfrac{\sum px}{\sum p}=\dfrac{15\%\cdot 3+25\%\cdot 5+20\%\cdot 7+30\%\cdot 9+10\%\cdot 11}{15\%+25\%+20\%+30\%+10\%}
\overline{x}=\dfrac{45+125+140+270+110}{100}
\overline{x}=\dfrac{690}{100}
\fbox{\overline{x}=6,9}\)

Variância:
Pode ser calculada pelo mesmo método, subtraindo-se a média de cada ponto médio, elevando-se ao quadrado, e multiplicando-se pela proporção. Ou usando a fórmula geral:
\(\sigma^2=\dfrac{\sum p\cdot\left(x-\overline{x}\right)^2}{\sum p}
\sigma^2=\dfrac{15\%\cdot(3-6,9)^2+25\%\cdot(5-6,9)^2+20\%\cdot(7-6,9)^2+30\%\cdot(9-6,9)^2+10\%\cdot(11-6,9)^2}{15\%+25\%+20\%+30\%+10\%}
\sigma^2=\dfrac{15\cdot 15,21+25\cdot 3,61+20\cdot 0,01+30\cdot 4,41+10\cdot 16,81}{100}
\sigma^2=\dfrac{619}{100}
\fbox{\sigma^2=6,19}\)

Outra forma:
\(\sigma^2=\dfrac{\sum px^2}{\sum p}-\left(\dfrac{\sum px}{\sum p}\right)^2=\dfrac{\sum px^2}{\sum p}-\left(\overline{x}\right)^2
\sigma^2=\dfrac{15\%\cdot 3^2+25\%\cdot 5^2+20\%\cdot 7^2+30\%\cdot 9^2+10\%\cdot 11^2}{15\%+25\%+20\%+30\%+10\%}-(6,9)^2
\sigma^2=\dfrac{5\,380}{100}-47,61
\sigma^2=53,80-47,61
\fbox{\sigma^2=6,19}\)

Mediana:
Medida que divide distribuição em duas partes iguais.
Então, basta dividir a área por 2.
A classe mediana é a que está com 50% da área.
Primeira classe:
15%
Segunda classe:
15%+25%=40%
Terceira classe:
40%+20%=60%

Então, 50% está na terceira classe.

A mediana precisa ser calculada pela fórmula:
\(\tilde{x}=L_i+h\cdot\dfrac{F_{med}-F_{ant}}{f_{med}}
\tilde{x}=6+2\cdot\dfrac{50\%-40\%}{20\%}
\tilde{x}=6+2\cdot\dfrac{10}{20}
\fbox{\tilde{x}=7}\)

Moda:
Há 3 formas de se calcular a moda:
Moda Bruta:
Ponto médio da classe modal (maior frequência)
\(\hat{x}=9\)

Moda de King:
\(\hat{x}=L_i+h\cdot\dfrac{f_{post}}{f_{ant}+f_{post}}
\hat{x}=8+2\cdot\dfrac{10\%}{20\%+10\%}
\fbox{\hat{x}\approx 8,67}\)

Moda de Czuber:
\(\hat{x}=L_i+h\cdot\dfrac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}
\hat{x}=8+2\cdot\dfrac{30-20}{(30-20)+(30-10)}
\hat{x}=8+2\cdot\dfrac{10}{10+20}
\fbox{\hat{x}\approx 8,67}\)

Espero ter ajudado!!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

valeu Baltuilhe,
to sempre aprendendo contigo, muito bom!

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