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Quantas vezes empregamos o dígito 0 (zero), quando escrevemos os números naturais de 1 a 10^n?
(n é número natural diferente de zero)
Obs.: Desconsiderar números iniciados com 0 (014, 000351, por exemplo).

Agora estou com pouco tempo para explicar a fórmula. Veja se isto o ajuda:

nº de vezes que o dígito 0 é empregue na lista dos números de \(1\) a \(10^n\) (inclusive) é

\(n+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i\times 9^{k-i}\right)\)

É possível obter uma expressão fechada para o somatório mas agora não tenho tempo.

Corrigindo a fórmula apresentada (falta o coeficiente binomial no segundo somatório e primeiro somatório vai até n e não n-1):

\(n+\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\right)\)

Explicando agora cada termo:

\(n\) é nº de zeros usados para escrever \(10^n\);

\({k-1 \choose i}9^{k-i}\) é nº de números com k algarísmos dos quais i são 0 (tomando em conta que o 1º algarísmo é diferente de 0).

Assim, \(i{k-1 \choose i}9^{k-1}\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com k algarísmos dos quais i são 0.

Logo \(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com k algarísmos.

E portanto \(\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k-1}i{k-1 \choose i}9^{k-i}\right)\) é o nº de zeros usados para escrever todos os números com menos de n algarísmos (ou seja todos os números de 1 a \(10^n-1\)).

Só mais uma adenda,

Também é possível arranjar uma fórmula recurssiva. Seja \(G_n\) o nº de zeros usado para escrever todos o nºs de \(1\) a \(10^n-1\). Temos que \(G_1=0\) e que \(G_{n+1}=10G_n+10^{n}-1\). Para ver tal observemos primeiro que \(G_{n+1}=\sum_{k=1}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)\) onde \(\zeta(k)\) é o número de zeros para escrever \(k\). Se \(k\) for maior que 9 então \(k=10x+y\) onde \(x\) é um nº de \(1\) a \(10^n-1\) e \(y\) é um algarísmo 0,1,2,...,9. Portanto,

\(G_{n+1}=\sum_{k=1}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)=\sum_{k=10}^{10^{n+1}-1}\zeta(k)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(\sum_{y=0}^{9}\zeta(10x+y)\right)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(\sum_{y=0}^{9}(\zeta(x)+\zeta(y))\right)=\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\left(10\zeta(x)+1\right)=10\left(\sum_{x=1}^{10^{n}-1}\zeta(x)\right)+10^{n}-1=10G_n+10^{n}-1\)

Daqui pode-se verificar, por indução, que \(G_n=(n-1)10^{n-1}+\frac{1-10^{n-1}}{9}\).

Logo o nº de zeros usado para escrever todos o nºs de \(1\) a \(10^n\) será \(n+G_n=n+(n-1)10^{n-1}+\frac{1-10^{n-1}}{9}\).